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1、第八章 真空中的静电场8-1 静电场【基本内容】一、电荷、库仑定律1、电荷守恒定律（1）电荷守恒定律： 对于一个孤立系统，不管发生什么变化，系统内的所有电荷的代数和保持不变。（2）电荷的相对论不变性： 一个电荷的电量与它的运动状态无关，即在相对运动的两个惯性系中测量同一电荷的电量，其值相等。2、库仑定律（1）、点电荷模型：忽略带电体的形状和大小，视带电体为具有一定电荷的几何点。（2）、库仑定律：真空中两个静止点电荷间的作用力（斥力或吸力）与这两个电荷所带电量的乘积成正比， 与它们之间距离的平方成反比，作用力方向沿着这两个点电荷的连线。F =1 化 r4兀sr 20其中 0称为真空的介电常数，
2、0=8.8 5X10-12 C2/N m2。理解：（l）r-0时，将导致F-e。该结论是不正确的，这是因为r-0,两带电体也不能视为点电荷。（2）电力叠加原理：施于任一点电荷的力F等于其它每一个点电荷单独存在时对它所施库仑力F的i矢量和，即f = 2 Fii 二 1二、电场、电场强度1 、电场（1）电场：带电体和变化的磁场周围空间存在的一种物质。（2）静电场的对外表现：电场中带电体受电场的作用力；带电体在电场中移动时，电场将对其作功。2、电场强度矢量E :描述电场力性质的物理量。（ 1 ）检验电荷 q0要求：（1）q0是点电荷，才能检验空间各点的场强；（2） q0可正可负，其值不能太大，才能不
3、影响原 场强的分布。2)电场强度的定义：电场中某点的场强等于该位置处单位正电荷所受的场力。E图5.1图5.2(3) 场强叠加原理：空间某点处的电场强度等于各点电荷单独在该点所产生的的场强的矢量和。分离电荷系统：E = 2 E ；连续电荷系统：ii=1E = I dE02x三、高斯定理高斯定理是描述矢量场通量性质的定律，矢量场的环量性质由环路定律描述。由矢量场的通量和环量 性质可完全描述该矢量场的性质。1、电力线和电通量( 1 )电力线：规定：(1)曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向；(2)曲线的疏密表示场强的大小。性质：(1)电力线来自正电荷(无穷远)，止于负电荷(无穷远)，但不会在没有
4、电荷的地方中断(2) 在没有点电荷的空间里，任何两条电力线不能相交；(3) 静电场的电力线不会形成闭合曲线。2)电通量d = E cos 0 ds = E - ds e=I E-dS2、高斯定律定律内容：1 E - dS =SX q指高斯面内所包含电量的代数和；E指高斯面上各处的电场强度，由高斯面内外的全部电荷产生;IE -dS指通过高斯面的电通量，由高斯面内的电荷决定。S物理意义：静电场是有源场。三、常见带电体的场强分布(1) 点电荷产生的场强和电势分布：E =1 q r4兀 r 30(2) 无限长均匀带电直线(电荷线密度为九)的场强：E = 九，方向垂直于直线。2冗 a0(3) 带电圆环在
5、轴线上产生电场强，如图5.1： E = 1qX，方向：沿轴线。4兀 ( R 2 + x 2)3/2(4) 均匀带电球面的电场，如图 5.2：E -1q r 当 r R 时4 兀s r 30E = 0当r R时(5) 无限大均匀带电平面的电场：E/80，方向：垂直于平面。【典型例题】求电场强度的三种方法1、利用场强叠原理求电场强度E = j L-鱼尸4 兀8 r 20这是矢量积分，一般方法是先分解在合适的方向，再进行积分，才能得到正确的结果。2、利用高斯定理求电场强度当电荷分布具有对称性，从而电场分布包括大小和方向具有相应的特殊对称性时，可用高斯定理求场 强。例如(1) 均匀带电球体、均匀带电球
6、面和点电荷的电场强度在空间的分布具有球面对称性。以球对称处 为球心，半径为r的球面上各点的电场强度的大小相等，方向沿该点的半径方向。若高斯面取球面，且高 斯面通过所求场强的点，则可用高斯定理很方便地求出场强。(2) 无限长均匀带电圆柱体、无限长均匀带电圆柱面和无限长均匀带电直线的电场强度在空间的分 布具有柱面对称性。在垂直于该圆柱体轴线的平面上，以轴线上的任一点为圆心，半径为r的圆周上各点 的电场强度其大小相等、方向沿该点的切线。若高斯面取圆柱面，其轴线与无限长均匀带电圆柱体的轴线 相同，侧面通过所求场强的点，则可用高斯定理很方便地求出场强。(3 )无限大均匀带电平面所产生的电场强度也可由高斯
7、定理很方便地求出。3、若已知U二U (x, y, z)，则可用E = -V U求电场强度。【例8-1如图例5-1所示，一绝缘细棒弯成半径为R的半圆形，其上半段均匀带有电量q,下半段 均匀带有电量一q。求半圆中心。点处的电场强度。【解】 选如图所示的坐标系，使带正电的1/4圆周在第二象限，带负电的1/4圆周在第三象限。若带正电的1/4圆周在0点处产生的电场强度用E表示。取一带电小+圆弧dl，其上带电量dq = dl = 2q dl兀R它在。点产生的电场强度的大小为dE =耳 dl =耳 Rd。=耳 d。+ 一 4 冗8 R 2 4 冗8 R 2 4 冗8 R0 0 0例5T图沿X轴和负y轴的分量
8、分别为dE = dE sin 0+ x+dE = dE cos 0+y+所以E -f 兀/2 sin 9d9 -+x 04冗 R4冗 R0 0E - B/2cos 9d9 - +y 04兀-R0故带正电1/4圆周在0点产生的场强的大小为4兀-R 2兀 2 - R 2tg a - E+0 0/ E - 1+ y所以E与x轴的夹角为一4 5。+同理可求得带负电的1/4圆周在。点产生的电场强度的大小为E - 电-2 冗 2 - R 20与x轴的夹角为(n + 4 5)。点处的总场强的大小为E二 E2 + E2二q，方向沿y轴负向。+- 冗 2 - R 20本题旨在说明根据场强叠加原理求场强。【例8-
9、2】一半径为R的带电球体，其电荷体密度为p =Kr2, K为正常数，r为球心到球内一点的 矢径的大小。求此带电球体所产生的电场强度的分布。【解】由电荷分布的球对称性可知，球体内、外的场强分布是球对称的，且方向处处沿径向。在球体内：取如图所示的半径为r的球面为高斯面,易求得高斯面内所包含的电荷量为q - Iff p dV -r p 4 兀 r 2 dr r 4 K 兀 r 2 dr0由高斯定理故有045d1K 冗 r 50 _ RKr 3_-,(r R) 外 5 r 20本题旨在说明根据高斯定律求场强。【例8-3】在电荷体密度为P的均匀带电球体中，挖出一个以为球心的球形小空腔，空腔的球心 相对于
10、带电体球心的位置矢量为b，如图例5-3所示。求空腔中任一点P的场强。【解】先求电荷体密度为P的均匀带电实心球体内的场强。由对称性可知，电场左的方向沿半径向 外。取一半径为 r 的球面为高斯面，此球面上场强的大小处处相等，由高斯定理可得/4兀 r 3、E - 4兀 r 2 二（p -） n30E亠380对于例5-3图所示的带电体，由于电荷分布不具有对称性，因而不能直接用高斯定理求解。但空腔中任一点P的场强可看成是均匀带电+p的实心球体在P处产生的电场E i和与空腔大小相同的均匀带电 -P的实心球体在P点产生的场强E2的叠加，也就是说，例5-3图所 示的带电体相当于在原空腔处补上体电荷密度为+P和
11、-P的球体。例5-3图于是，空腔中任Pr02380点P的场强可由叠加原理求出E 二 E + E12P(r -r /)380Pb380由上式结果可知，在空腔内各处的场强均相等，方向由。指向0/。分类习题】【8-1】静电场中某点的电场强度的大小和方向为。【8-2】将正的试验电荷q0放于带负电荷的大导体附近P点（图5-2），测得它受力大小为F，若q0不 是足够小，则F/q0比p点原先场强的 （填大、小）。q0-a 0 a图5-2图5-3【 8-3】场强。【 8-4】ox轴上坐标为+ a和a处分别放置点电荷+ q和q （图5-3），求坐标为x（xa）的P处一电矩为P的偶极子在均匀电场 E中，P与电场夹
12、角为a，则它受到电场力的大小为，受到电场力矩的大小为由上面的结论，有【8-5】在一个带有负电荷的均匀带电球外，放置一电偶极子，其电矩P的方向如图5-5，当偶极子 被释放后，该偶极子将。(1) 沿逆时针方向旋转直到电矩P沿径向指向球面而停止。(2) 沿逆时针方向旋转至电矩P沿径向指向球面，同时沿电力线方向向着球面移动。(3) 沿逆时针方向旋转至电矩P沿径向指向球面，同时逆电力线方向远离球面移动。(4) 沿顺时针方向旋转至电矩P沿径向朝外，同时沿电力线方向向着球面移动。【8-6】将线电荷密度为九的无限长均匀带电细杆弯成如图5-6所示形状。已知1/4圆弧的半径为R， 求圆心处的场强。【8-7】电量+
13、 Q均匀分布在长为L的细棒上(图5-7)，在细棒延长线上距细棒中心为。的P处有一 点电荷+ q，求点电荷+ q受到的静电力。【8-8】一半径为R的带缺口细圆环，缺口长度为d(d R),环上均匀带电+ q (图5-8)，求圆心 处场强。【8-9】已知一高斯面包围的电量代数和为0则下列说法正确的 :(1) 高斯面上各点场强均为0。(2) 穿过高斯面上每一面元的场强通量均为0。(3) 穿过此高斯面的场强通量为0。( 4)以上说服均不正确。【8-10】 边长为a的正方形平面，在其中垂线距中心。为a/2处有电量为q的点电荷，如图5-10。 求通过该平面的场强通量。两电量大小比较Qq （填、=）。【8-1
14、2】真空中，两电量均为Q的点电荷相距2R （图5-12）,若以其中一 点电荷Q为中心以R为半径作球面，求：R+Qa+Q（1） 通过球面的场强通量为；0 2R（2）球面上a、b两点的场强。【8-13】厚度为d的无限大均匀带电平板，如图5-13，体电荷密度为P， 试求平板内外场强分布，并画出场强随x的变化曲线。【8-14】一对“无限长”的同轴直圆筒，半径分别为R和R2（ R R2）, 筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度电量分别为九1和九2。试求空间的场强分布。8-2 静电场的环流定理、电势【基本内容】一、静电场的保守性静电场是保守场 I： E - dl = 0 l电场力作功与路径无关，是保守力，可引入电势能。二、静电势能1、静电势能的引入：静电力所作的功等于静电势能增量的负值。W = - （E
