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1、函数与导数压轴题专题复习一、函数与数列1、已知函数f(x)=x3x2+ + , 且存在x0(0, ) ,使f(x0)=x0. （1）证明：f(x)是R上的单调增函数；设x1=0, xn+1=f(xn); y1=, yn+1=f(yn), 其中n=1,2,（2）证明：xnxn+1x0yn+1yn; （3）证明： . 2已知数列的首项，（1）求的通项公式；（2）证明：对任意的，；（3）证明：3、函数，数列和满足：，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为 （1）求数列的通项公式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）若函数，令函数数列满足:且其中证明:. （本小题满分14分）解:（1） ， 得
2、 是以2为首项，1为公差的等差数列，故 3分（2） ， 在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值， 的取值范围为 6分（3） 所以 又因 则 显然 8分 12分 14分二、参数的范围问题1、已知函数 为常数，（1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当在处取得极值时，若关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围。解 时，于是，又，即切点为（切线方程为5分（2），即，此时，上减，上增，又10分（3），即（在上增，只须12分（法一）设又在1的右侧需先增，设，对称轴又，在上，即在上单调递增，即，于是15分（法二）设，设，在上增，又，
3、即，在上增又2、已知函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围； （）若对任意，且恒成立，求的取值范围.当，即时，在1，e上单调递增，所以在1，e上的最小值是；当时，在1，e上的最小值是，不合题意；当时，在（1，e）上单调递减，所以在1，e上的最小值是，不合题意9分（）设，则，只要在上单调递增即可.10分而当时，此时在上单调递增；11分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，12分对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即. 综上. 已知函数3若函数h（x）满足（1）h（0）=1，h（1）=0；（2）对任意，有h（h（a）=a；（3）在（0,1）
4、上单调递减。则称h（x）为补函数。已知函数。（1）判断函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记时h（x）的中介元为xn，且，若对任意的，都有Sn ,求的取值范围；（3）当=0，时，函数y= h（x）的图像总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围。【解析】 4设函数 （I）若的极值点，求实数； （II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。 （I）解：求导得因为的极值点，所以解得经检验，符合题意，所以（II）解：当时，对于任意的实数a，恒有成立；当时，由题意，首先有，解得，由（I）知令且又内单调递增所以函数
5、内有唯一零点，记此零点为从而，当时，当当时，即内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使恒成立，只要成立。由，知（3）将（3）代入（1）得又，注意到函数内单调递增，故。再由（3）以及函数内单调递增，可得由（2）解得，所以综上，a的取值范围是5、已知求函数的单调区间若不等式对任意正整数恒成立,求实数的最大值.6、已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。【解析】（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾 当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为7、定义对于函数f(x)，
6、xM，若f(x)F(lnx1)+F(lnx2)+F(lnxn)。8.（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r为有理数，且0rsinx+cosx总成立，求b的范围。若f(x)在（）上单调递增，求m的取值范围。3、设函数.（）证明,其中为k为整数；（）设为的一个极值点，证明；（）设在(0,+)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明解：（）证明：由函数的定义，对任意整数，有（）证明：函数在定义域上可导，令，得显然，对于满足上述方程的有，上述方程化简为此方程一定有解的极值点一定满足由，得因此，（）证明：设是的任意正实数根，即，则存在一个非负整数，使的符号为奇数0为偶数0，即在第
7、二或第四象限内由式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足的正根都为的极值点由题设条件，为方程的全部正实数根且满足，那么对于，由于，则，由于，由式知由此可知必在第二象限，即综上，四、构造函数1、已知其中求证：对任意当时，均有。2、已知函数，证明：对任意正数，当时，3、(1)设正实数x,y满足xy=1,求证：;(2)设x,y是正实数，且xy=t(t为常数，且t1)，求证;（3）设正实数x,y,z满足xyz=1，求的最小值，并证明之。五、切线的应用1、设函数y=f(x)对任意的实数x，都有f(x)=2f(x+1),当x0,1时，f(x)= （1）已知n是正整数，当xn,n+1时，求f(x)的
8、解析式；(2)已知n是正整数，求证：当xn,n+1时，都有|f(x)；（3）在y=f(x)（x0）的图象是否存在点p，使得过点p的切线与直线x+y=1平行，若存在，那么这样的点有几个，若不存在，请说明理由。2、已知函数f(x)=e2x-2ax2+2e2x(1)若f(x)在1，2上是增函数，求a的取值范围；(2)设曲线y=f(x)在p(1,f(1)处的切线为l，试问是否存在正实数a，使得y=f(x)的图象被p分割成的两部分完全位于l的两侧，若存在，请求出a满足的条件，若不存在，请说明理由。3.已知函数=，其中a0.（1） 若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合.（2）在函数的图像上取定两点，记直
9、线AB的斜率为K，问：是否存在x0（x1，x2），使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .综上所述，存在使成立.且的取值范围为.4已知函数，且在处的切线方程为（1）求的解析式；（2）证明：当时，恒有（3）证明：若且则解析：（1）,切线斜率，在处的切线方程为,即 (4分)（2）令 当时，;时，故即.（8分）（3）先求在处的切线方程，由(1)知,故在处的切线方程为即 ， (10分)，下先证令时，;时，。 （12分）. （14分）
