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1、第13章 第一型曲线积分与曲面积分 内容提要：1第一型平面曲线积分（对弧长的曲线积分）：1) 定义： 2) 性质：a. b. 若 ， 则 c. 表示在封闭曲线上求第一型曲线积分3) 计算：a. ( )b. c. 4) 应用曲线形物件的弧长 曲线形物件的质量 曲线形物件的质心 曲线形物件的转动惯量 2第一型曲面积分1）概念：设 是分块光滑的曲面，函数 定义在曲面 上，将 任意分成 个小块 ， ， （ 也表示第 小块曲面的面积）。任取一点 ，令 是各小块曲面中两点间距离的最大值，若极限存在，且极限值与分割和取点的方法无关，则称此极限为 在曲面 上的第一型曲面积分，记为。2）性质：第一型曲面积分有和
2、二重积分类似的线性性质和可加性质。3）计算：第一型曲面积分可以转化为二重积分进行计算。设曲面 是由方程 给出， 在 平面上的投影区域为 ，且函数 在 上有连续的偏导数， 在 上连续，则。类似地，可以将曲面 投影在 平面和 平面上来计算。 复习指导： 第13章 第一型曲线积分与曲面积分 学习指导：1两型曲线积分的计算： ，其中 为保证 ，要求积分上限下限，即 而 是起点A对应的t, 是终点B对应的t,即由下限到上限，总是由起点到终点，而不管谁大谁小。2两型曲线积分的关系： ，其中 为曲线L切线的方向余弦。3平面曲线积分可推广到空间曲线积分： ，其中 为L切线的方向余弦。4格林公式：（1）利用格林公式可求平面图形的面积 （2）利用格林公式时必须验证P,Q在D内是否有一阶连续偏导。 例： ， 由于P,Q在D内不具有连续偏导，故此题不能用格林公式求，其实（3）L为D取正向的整个边界曲线，不形成封闭曲线的可补上一段使形成封闭回路。 例：计算 其中L是椭圆 的上半圆 解： 补上一段 形成回路 （4）Pdx+Qdy为恰当微分，求其原函数的方法： a.用线积分方式： b.从定义出发：例：（2x+siny）dx+xcosydy P=2x+siny Q=xcosy c.直接用凑微分法：
