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1、第四讲（一） 分解因式知识点一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种变形叫做把这个多项式 .2. 因式分解与整式乘法是 运算.3.因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.知识点二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: 2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“ ”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3.
2、公因式的确定关键看： A.系数：取各项整数系数的 ； B.字母：取各项的 ； C.指数：取 。4. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.5.习题巩固：1 下列各式得公因式是a得是（ ） A.axay5 B3ma6ma2 C4a210ab Da22ama2 6xyz3xy29x2y的公因式是（ ） A.3x B3xz C3yz D3xy3 把多项式（3a4b）（7a8b）（11a12b）（8b7a）分解因式的结果是（ ） A8（7a8b）（ab） B2（7a8b）2 C8（7a8b）（
3、ba） D2（7a8b）4 观察下列各式: 2ab和ab， 5m（ab）和ab， 3（ab）和ab， x2y2和x2和y2。其中有公因式的是（ ） A B。 C D5.当n为_时，（ab）n（ba）n；当n为_时，（ab）n（ba）n。（其中n为正整数）6（ab）2（xy）（ba）（yx）2（ab）（xy）_。7多项式18xn124xn的公因式是_。8把下列各式分解因式：（1）15（ab）23y（ba） （2）20a15ax 9利用分解因式方法计算：（1）3937-1334 （2）2919.99+7219.99+1319.99-19.99146.中考链接：1、下列各个分解因式中正确的是（ ）A
4、10ab2c6ac22ac2ac（5b23c） B（ab）3（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3ab）5（2ba）2（a2b）（11b2a）2、 因式分解：（1） （a3）2（2a6）； （2）（mn）（pq）（mn）（qp）3、 已知ab4，ab2，求多项式4a2b4ab24a4b的值。4、 若x23x20，求2x36x24x的值。知识点三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: (2)完全平方公式: 3. 易错点点评：因式分解要
5、分解到底4. 因式分解的思路与解题步骤:（1）看； （2）用； （3）验； （4）止5. 习题巩固：1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）A，-a2+b2 B，-x2-y2 C，49x2y2-z2 D 16m4-25n22, 下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）x2-4x+4 6x2+3x+1 4x2-4x+1 x2+4xy+2y2 9x2-20xy+16y2A， B， C， D,3,若n 为正整数，（n+11）2-n2 的值总可以被k整除，则k等于（ ）A，11 B，22 C，11或22 D，11的倍数4，分解因式3x2-3x4的结果是（ ）A，3(x+y2)(x-y2) B，3(
6、x+y2)(x+y)(x-y) C，3(x-y2)2 D, 3(x-y)2(x+y)25,若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（ ）A，2 B，4 C，2y2 D, 4y26,若x2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m应为（ ） A，-5 B，3 C，7 D, 7或-18，（ ）2+20pq+25q2= （ ）2 9,分解因式x2-4y2= 10, 分解因式ma2+2ma+m= 11，分解因式2x3y+8x2y2+8xy3 .12,运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被 整除。13，已知x=40,y=50,试求x4-2x2y2+y4的值。6.创新训练：1，
7、 已知三角形的三边长a.b.c,满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0.试判断三角形的形状。2， 有人说，无论x取何实数，代数式x2+y2-10x+8y+45的值总是正数。你的看法如何？请谈谈你的理由。知识点四.分组分解法1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: 2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.知识点五. 十字相乘法:1.对于二次三项式,将a和c分别分解成两个因数的乘积, , , 且满足,往往写成 的形式,将二次三项式进行分解. 如
8、: 2. 二次三项式的分解: 3. 规律内涵:(1)理解:把分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.4. 易错点点评: (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.如就没有分解到底.第四讲(二) 分式及方程知识点一. 分式1. 整式A除以整式B,可以表示成 的形式.如果除式B中含有 ,那么称 为分式,对于任意一个
9、分式,分母都 为零。2. 整式和分式统称为有理式。 3. 进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个 的整式,分式的值 .4. 约分的概念：一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去。知识点二. 分式的乘除法1. 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;即 。 分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘；即: 。 2. 分式乘方,把分子、分母分别乘方；即: 。 3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做 .知识
10、点三. 分式的加减法1.分式的加减法:(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;即 。(2) 异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;即 (3) 通分的概念：分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。2. 概念内涵:通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解.知识点四. 分式方程1. 解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘 ,约去 ,化成 方程;解这个 方程;把 方程的根代入 ,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,必须舍去.或把方程的根代入 。2. 列分式方程解应用题的一般步骤:审清题意;设未知数;根据题意找相等关系,列出(分式)方程;解方程,并验根;写出答案.
