《多维幻方中的斜线研究.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多维幻方中的斜线研究.doc（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、多维幻方中的斜线研究(上) 幻方制作完成后是检验，是否成功，品质如何？这要靠不重不漏的检验来说话，而不是凭着良好的主观愿望想像就是！首先是直线形的检验，直线形在四维中日本名词中给出：行(row)列(column)柱(pillar)file。行与列不用多言，大家都熟悉通用的；第三维我首先想到的也是柱，欧阳录老先生采用了竖与竖和，它是从上向下的n格；第四维是横向对应位置上的n格，用手横向一扫故名之为一拨，日本也没有给名？姑且用之。直线形的检验数量在幻方是2n，在幻立方是3n2；到四维幻方中就是4n3,可知n阶m维幻方在直线（形）上的检验数量是mnm-1次。在直线检验通过后，是对角线的检验，如果它的
2、m维对角线都符合幻和，则称其为一个简单的m维幻方；简单幻方并且有2到m-1维对角线，那么它是一个n阶m维标准幻方。 标准之后我们更想完美，即幻方经平移后仍保持其幻性不变！要幻方具有平移性质就要研究并检验它的泛对角线（折断的）即斜线，完美要求每一斜线上n数之和等于幻和，这样，情况就会复杂得多！我们从二维谈起。1、平面（二维）幻方的斜线 2、（三维）幻立方的斜线 在（三维）立方体中，出现了三个方向的直剖面，今后我们简称为剖面，而对角面等是斜剖面，暂不在我们的研究之列。从二维向上研究，其思维与步骤是类似及延伸的，在用词与公式上亦是如此，请读者注意，循序向上。 所以n阶完美幻立方的检验量是3n2+4n
3、2+6n2=13n2条。3、四维幻方的斜线 为什么16 种可能只得到8 个不同的方向？将这8 个方向（向量）乘以-1则得到另8 个方向，而另8 个方向仅是前8 个不同的方向的反向延长，仍在同一斜线上。 为什么就选这八个？我们希望包涵大的变量为正，在正向递增着。 为什么使用简记而将1省去？对于幻方讨论是其对角线及平行于它的斜线，它们与行轴、列轴等总是夹角45或135，递增或递减也是一个单位，故略之不写。 四维幻方的四维斜线以第一堆（幻立方）为起点格，这样其斜线的堆标r是从1递增到n；第一堆有n3格，每一格引出8 个方向的斜线，所以，四维斜线一共是8n3条。再看三维斜线，平等地对待四个坐标， 由取
4、法的组合数是4，三维斜线的起点格是这一组合立方体的顶层上n2格，每一格引出4条三维斜线，闲置的那一标可从1取到到n，综合各个因素，所以，其三维斜线一共是4* n2*4*n=16n3条。 由取法的组合数是6，二维斜线的起点格是这一剖面的首行上n格，每一格引出两条二维斜线，闲置的那两标各自可从1取到到n，综合各个因素，所以，其二维斜线一共是6* n*2*n2=12n3条。汇总如下表， 四维幻方从标准走到完美，其2、3、4维斜线检验量大幅度的提升，达到与直线形同一档次（n*n*n）！又因其多个方向而超越。四维从16阶（或能早点）开始有完美幻方，在这多（163840）线上能够等和也是一个美好玄妙的景象
5、！多维幻方的研究（下）一、关于多维幻方分类 还是三个档次合理，简单，标准，完美。 在多维幻方中，很多阶都存在完美，但有些阶就没有完美，仅是标准，阶数较低的一些连标准都达不到，只能称为简单。在简单中有一些更接近标准，这也是存在的。 但是我要再一次申明: 1、能做出完美，同时也能做出标准或简单的，我们归类为完美； 做不出完美，但能做出标准，也可做出简单的，我们归类为标准； 做不出完美，也做不出标准的，仅能做出简单的，我们归类为简单。 在上述严格归类后，还有没有你说的比简单更好一些，又比标准稍差一些的这类呢？在三维幻方中，3，4阶只能是简单，5，6，10，当初也有很多人认为这些阶达不到标准，但又可以
6、做出比简单好，更接近标准。 最后的事实证明，除3，4证明了只能是简单，不可能达到标准，而其它达不到完美的全部可达到标准。 在四维幻方中，3，4，5，6，7阶估计全部能证明达不到标准，只能是简单，这些阶它们的所有平面剖面的主对角线都是不可能全部达到要求的。 8，9，11，13阶这几个所有的平面对角线可以达到要求，但三维空间的对角线用我的公式达不到要求。好象这几个就是你说的中间一类，但我的公式做不出标准，不能说用其它办法做不出来，我估计这些标准幻方是存在的。就象5阶幻立方一样是存在的。 2、如果非要将他们归为一类，那么四维就出现了四类了。 完美，标准，新的一类，简单， 五维怎么办，就要出现五类了，
7、m维怎么办，就要出现m类了! 这样分类就复杂了，让其它人就更难明白了?鉴于这些情况，我同意李文先生的划分，给出以下分类的定义： n阶m维幻方分为简单，标准，完美三个档次。如果m维幻方仅有所有直线形（行，列，竖，）及m维对角线上的n数之和满足于幻和，则称它是一个简单m维幻方。如果简单幻方所有的二维到n-1维对角线也满足于幻和，那么它为一个标准m维幻方。标准m维幻方满足于平移后仍为标准，则称之为完美m维幻方。 四维以上在简单到标准之间有了较大距离，我建议添入：稍好，好，大好三个层次，来形容品质。如中国仍处发展中国家，距离中等发达亦远？但比印度发展为好，若歌颂为盛世，则应是大好！正好描述二维到n-1
8、维对角线的满足度。 3、下面给出一些欧阳系数，包括常数。 要构成完美，最小欧阳系数还是1，2，4，8，16，32，这套，我称之为标准式；但构成标准的，可以更小一些，如简单式；某些阶数需要增添常数P。二、关于多维幻方的前瞻 你好，下面是一些多维完美幻方的重要结论：1、三维: 8阶以上所有奇数阶存在完美幻立方可用公式求出。 8k阶类存在完美幻立方，可用公式求出 4（2k），(注：不是很多人认为的有完美幻立方）2(2k+1)不存在完美幻立方，我可以证明这两类存在标准幻方，全部可以解出不存在无解的 ，7有标准幻立方，只有简单幻立方2、四维： 16阶以上所有奇阶数存在四维完美幻方，可用公式求出 16k类
9、存在四维完美幻方，可用公式求出， 8(2k+1)，4(2k+1)，2(2k+1)不存在四维完美幻方，只存在标准四维幻方 16阶以下：，5，6，7只存在简单幻四维幻方，还未见证明也无法构出标准四维幻方 ，10，11，12，13，14存在简单四维幻方，很可能存在标准四维幻方，未见证明 15阶存在标准四维幻方，可用公式求出。3、五维： 32阶以上所有奇数存在五维完美幻方，可用公式求出 32k类存在五维完美幻方，可用公式求出 31阶存在标准五维幻方，可用公式求出 30阶存在简单五维幻方，这当中阶数较高的可能存在标准五维幻方 不是32k类的偶数阶不存在完美五维幻方，只有标准五维幻方三、24阶完美幻立方的
10、主计算程序 如下是李文先生提供的一段程序，已检验过数字从0-13823无重无漏，所有幻和符合要求，此程序短小精悍，最大优点是快速，且节省内存，可仿制算到极高阶。Dim a(23)， h(23， 23， 23)， d(13823)For i = 0 To 5 a(i) = i a(i + 6) = 11 - i a(i + 12) = 23 - a(i) a(i + 18) = 23 - a(i + 6) Print a(i)， a(i + 6)， a(i + 12)， a(i + 18)Next iFor i = 0 To 23 For j = 0 To 23 For k = 0 To 23
11、s1 = (i + 2 * j + 4 * k) Mod 24 s2 = (2 * i + 4 * j + k) Mod 24 s3 = (4 * i + j + 2 * k) Mod 24 h(i， j， k) = a(s1) * 576 + a(s2) * 24 + a(s3) Next k Next jNext i四、四维幻方的穿心对调法 我从观赏并研究李抗强、彭保旺两位先生开始的四维幻方的平面展示后，触动灵感领悟到4k阶四维幻方的穿心对调法，这说明除了计算法，还可以将一些制作方法由幻立方引入四维内，虽然所得仅是简单四维幻方，但方法也简单，且有其三维对角线都符合这一特点，可能改进。特附录呈上观赏。 此幻方的三维对角线全部满足于幻和，故可称之为4阶四维简单好幻方。这里使用的荷花型穿心对调，方法极简单！此法所制作的8阶简单幻方可称大好，距标准极近。 本文大多是取自李文先生的来信，稍做整理，特致敬意。依说多维幻方的研究（下）文不对题，因为后续工作正多，路途尚长呢！结合南湾湖的几篇文章，先抛到网上与同仁共赏，再埋头研究探索一番，正是：革命尚未成功，同志仍须努力！
