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1、高中思维训练班高一数学 第1讲-集合与函数(上)本讲要点:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化重点掌握:函数的迭代1.定义M与P的差集为M-P=x | xM且x不P ,若A=y | y=x2 B=x | -3x3 ,再定义 MN =（M-N)(N-M），求AB2.集合A=中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是 _ .若A=,则所有子集的元素之和是 .3.已知集合,其中,并且都是正整数.若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.*4. 函数，求(本讲重点迭代法)5. 练习:定义:.已知是一次函数.当求的解析式(本讲重点迭代法)*6.设f(x)定义在正整数集
2、上，且f(1)=1,f(xy)=f(x)f(y)xy。求f(x) (本讲重点顺序拼凑法)课后作业: 7. 当n10时,f(n)=n-3;当n10时,f(n)=ff(n+5) .求f（7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=且当n1时有=2(n1)。求f(n) (nN+)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c0,的解集是x|mxn,m0,求不等式cx2+bx+a0的解集作业答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10. x1/m 答案:1. 【解】 Ax|x0 B=x|-3x3 A-B=x|x3 B-A=x|-3x0 AB=x|-
3、3x0或x32. 【解】分析已知的所有的子集共有个.而对于,显然中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现次,即对所有的求和,可得 集合的所有子集的元素之和为=3. 【解】,且,又,所以又,可得,并且或若,即,则有解得或(舍)此时有若,即,此时应有,则中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得, 5【解】解：设f(x)=axb (a0)，记ffff(x)=fn(x)，则 n次 f2(x)=ff(x)=a(axb)b=a2xb(a1)f3(x)=fff(x)=aa2xb(a1)b=a3xb(a2a1)依次类推有：f10(x)=a10xb(a9a8a1)=a10x
4、由题设知：a10=1024 且=1023a=2，b=1 或 a=2，b=3f(x)=2x1 或 f(x)=2x38. 解：令y=1，得f(x1)=f(x)x1再依次令x=1，2，n1，有f(2)=f(1)2f(3)=f(2)3f(n1)=f(n2)(n1)f(n)=f(n1)n依次代入，得f(n)=f(1)23(n1)n=f(x)= (xN+)高中思维训练班高一数学 第2讲-函数(下)本讲要点:1.单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3.抽象函数的周期问题*1例 f(x)在x0上为增函数,且.求:(1)的值.(2)若,解不等式2例 f(x)对任意实数x与y都有f(x
5、) + f(y) = f(x+y) + 2,当x0时,f(x)2(1) 求证:f(x)在R上是增函数(2) 若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) 0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x1时有f(x)1上是增函数(3) 在x 1上,若不等式f(x) + f(2-x) 0上,当x1时,f(x)0;对任意的正实数x和y都有f(xy) = f(x) + f(y).(1) 证明f(x)在x0上为增函数(2) 若f(5) = 1,解不等式f(x+1) f(2x) 2 *7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证f(x)是周期函数7. 当n10时,f(n)=n-3;当n10
6、时,f(n)=ff(n+5) .求f（7）(本讲重点迭代法)*8. 已知f(1)=且当n1时有=2(n1)。求f(n) (nN+)(本讲重点顺序拼凑法)9.求集合A = 所有非空子集的元素之和10.已知不等式ax2+bx+c0,的解集是x|mxn,m0,求不等式cx2+bx+a0的解集作业答案:6. 0x1/49 7.周期T=4m7. 当n10时,f(n)=n-3;当nf(x+2m)=f(x) g(x)的周期为3，-g(x+3n)=g(x) 2与3的最小公倍数是6，-f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x) f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-f(x)g(x)是周期为6的
7、周期函数； f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-f(x)g(x)也是周期为6的周期函数。高中思维训练班高一数学 第4讲- 函数的对称专题(下) 第5讲- 对称与周期的关系本讲要点:较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系知识点1:两个函数的图象对称性性质1：与关于轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。性质2：与关于Y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。性质3：与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。性质4：与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。性质5：关于点对称。换种说法：与若满足，即它们关于点对称。性质6：与关于直线对称。知识点2:单
8、个函数的对称性性质1：函数满足时，函数的图象关于直线对称。证明：性质2：函数满足时，函数的图象关于点（，）对称。证明：性质3：函数的图象与的图象关于直线对称。证明：知识点3:对称性和周期性之间的联系性质1：函数满足，求证：函数是周期函数。证明：性质2：函数满足和时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心（a，）、（b，）时，函数是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：性质3：函数有一个对称中心（a，c）和一个对称轴（ab）时，该函数也是周期函数，且一个周期是。证明：推论：若定义在上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期证明：性质4：若函数对定义域内的任意
9、满足：,则为函数的周期。（若满足则的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别)证明：性质5：已知函数对任意实数,都有，则是以为周期的函数证明：例题与习题:1例（2005高考福建理）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）A3B4C5D7*2例 的定义域是，且,若. 求f(2008)的值。3练 函数对于任意实数满足条件，若则_。解：由得，所以，则*4例 若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.求的周期；证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;讨论在上的单调性；解: 由已知，故周期.设是图象上任意一点,则,且关于点对称的点为.P关于直线对称的点为,点
10、在图象上,图象关于点对称.又是奇函数, 点在图象上,图象关于直线对称.设，则，在上递增, (*)又 , .所以： ，在上是减函数.5例 已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数.又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值.（1）证明：；（2）求的解析式；*（3）求在上的解析式.解：是以为周期的周期函数，且在上是奇函数，.当时，由题意可设，由得，.是奇函数，又知在上是一次函数，可设而，当时，从而时，故时，.当时，有，.当时，.课后作业:6练 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ B ）(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因为是定义在上的奇函数所以，又，故函数，的周期为4所以，选B 7练定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5x) = f (5+x),则f (x)一定是（ A ）（第十二届高中数学希望
