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1、立体几何公理、定理一览表六个公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个面内。（P4） 2如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。（P5） 3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。（P5）推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。4平行于同一条直线的两条直线互相平行。（P10）射影定理：1从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）垂线段最短；（2）斜线段长相等O射影长相等。（P24）2如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等
2、，那么这一点在平面上 的射影在这个角的平分线上。（P26/eg3）和（P29/11） *唯性定理：1过点有且只有个平线和个直面垂直。（卩20）2过直线外 点有且只有 条直线和已知直线平行。（P33/5） * 平面个平面平面33/5等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么 这两个角相等。（P10）推论如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的 锐角（或直角）相等。（P11）最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成 的一切角中最小的角。（P25）三余弦定理：cos 0 =cos a cos P（其中a、p、0分别是斜线与射
3、影（即线与面）、射影与面内线、斜线与面内线所成的角）关系判定方法关系判定方法线在面内1. 公理12. 过平面内一点,且平行于与此平面平行的一条直线的直线在此平面内。3. 过平面内一点,且垂直于与此平面垂直的一条直线的直线在此平面内。4如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个 平面的直线，在第一个平面内。（P37,2）三点（线）共线（点）公理2 （即三点（或两线的交点）在两面的交线上）异耳1反证法2过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。线线 垂 直1一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条。2如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和这
4、个平面内的任何一条直线都 垂直。（P20）3在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这 条斜线垂直。（三垂线定理）（P26）4在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线 的射影垂直。（三垂线逆定理）5.三个平面两两互相垂直，则它们的三条交线也两两互相垂直。（P39,0）*线线平行3 7/e.g21.公理42如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线就和交线平行。（P17）3如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（P23）4如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。P31）线 面 平
5、 行1如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和 这个平面平行。（P17）2两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。（P31）3如果一个平面和不在这个平面内的直线都垂直于另一个平面，那么已 知平面和这条直线平行。（P39/11）*4如果一条直线上的两点在一个平面的同侧，并且到这个平面的距离相 等，那么这条直线和平面平行。（P49）*线 面 垂 直1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个 平面。（P21）2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平那么另一条也垂直于同一个平面。蘇） 3.条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个
6、平面。（P31/eg2） 4如果两个平面垂直那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。5.同时垂直于一个平面的两个平面的交线也垂直于这个平面。（P39,9）*面面平行1如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平 面平行。（P30）2垂直于同一条直线的两个平面平行。3.平行于同一平面的两个平面平行。直面 面 垂1如果一个平面经过（或平行）另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂 直。（P37）（或（P38/8）* ）2如果三条共点的直线两两互相垂直，则它们中每两条确定的三个平面也两两互 相垂直。（P）*用“平移法”作异面直线所成的角 ，关键是选择适当的点，一般选在一对异面直线的一条线段的端点或中点；用“射影法”作 斜线与平面所成的角 ，关键是垂足位置的确定；作二面角的平面角有三种方法，一是“定义法”，二是“垂线法”，三是作棱的“垂面法”。求距离，找垂足或转换（利用平行间距离相等或三棱锥的顶点转换）； 即：遇到求“距离、线面所成角、面面所成角”等，都要设法找到图中存在或隐藏的“线面垂直、面面垂直”关系。且要一作（找）、二证（说理）、三计算（平面分离）
