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1、实用文案用空间向量解立体几何题型与方法标准文档平行垂直问题基础知识直线I的方向向量为a = (ai, bi, ci)平面a.B的法向量u = (a3, b3,C3), v = (a4, b4,C4)(1)线面平行:I /a? a 丄 u? a u = 0? aia3+ bib3+ C1C3 = 0(2)线面垂直:I丄 a? a /u? a = ku? ai = ka3, bi = kb3, ci = kc3(3)面面平行:a/ B? u /v? u = kv? a3= ka4, b3= kb4, C3= kc4面面垂直：a丄 B? u 丄v? u v = 0? a3a4 + b3b4 + C3
2、C4 = 0例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA丄底面 ABCD , E,F分别是PC, PD的中点，PA=AB = 1 , BC = 2.(1) 求证：EF/平面PAB;(2) 求证：平面PAD丄平面PDC.证明以A为原点，AB, AD , AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如1 1 1 图所示，贝U A(0,0,0) , B(1,0,0) , C(1,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,1)，所以 E, 1 ,，F 0 , 1 ,，uuur 1uucuuuuuuuuurujutEF 二一, 0 , 0 , PB 二(1,0, -1) ,
3、 PD 二(0,2, - 1) , AP 二(0,0,1) , AD 二(0,2,0) , DC 二uuu(1,0,0) , AB 二(1,0,0) uuur 1 uuuuuur uuu(1) 因为 EF = AB ,所以 EF /AB ,即 EF/AB.又AB?平面PAB , EF?平面PAB ,所以EF/平面PAB.uuu uuuruuur uuir(2) 因为 AP DC = (0,0,1) (1,0,0) = 0 , AD DC = (0,2,0) (1,0,0) = 0 ,uuu uuur uuuruuu所以AP丄DC , AD丄DC ,即AP丄DC , AD丄DC.又AP PAD
4、= A , AP?平面PAD , AD?平面PAD ,所以DC丄平面PAD.因为DC?平面PDC ,所以平面PAD丄平面PDC.使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向 量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向 量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例 2、在直三棱柱 ABC-AiBiCi 中, ZABC = 90 ,BC= 2，CCi = 4，点 E在线段 BBi 上,且 EBi = 1，D，F，G 分别为 CCi，CiBi，C1A1 的中点.求证：
5、BiD丄平面ABD ;(2)平面EGF /平面ABD.证明：(i)以B为坐标原点，BA、BC、BBi所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系，如图所示，贝U B(0,0,0)，D(0,2,2)，Bi(0,0,4)，设 BA = a，则 A(a,O,O)，uuuuuuuuur所以 BA = (a,0,0)，BD = (0,2,2)，BQ = (0,2，- 2)，uuuu uuu uuuu uuurBi D BA = 0， B1D BD = 0+ 4 4 = 0，即 Bi D _L BA， Bi D _L BD.又BA ABD = B，因此BiD丄平面 ABD.uuurEF 二(0,i
6、,i)，auuu a由知，E(0,0,3)，G ，i，4，F(0,i,4)，则 EG 二：，i，i，实用文案uuur uuuruuur uuurB1D EG = 0 + 2 2 = 0 , B1D EF = 0 + 2 2 = 0，即 BiD 丄EG, BiD 丄EF.又EGAEF= E,因此BiD丄平面EGF.结合(1)可知平面EGF/平面ABD.利用空间向量求空间角基础知识(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角|a b| 为 B，贝U cos |cosa， b| =|a|b|向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面
7、所成的角为0，则|n I sin 0= |cosn，a| =|n|a|向量法求二面角：求出二面角 a IB的两个半平面a与B的法向量n1，n2,|n1 n2| 若二面角a l B所成的角0为锐角，贝U cos 0= |cosn 1， n2| =InHIn2|n1 n2|若二面角a IB所成的角0为钝角，贝U cos 0= |cosni，n2| =In i| n2|例 1、如图，在直三棱柱 AiBiCi-ABC 中，AB 丄AC，AB = AC = 2，AiA = 4，点D是BC的中点.(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.解(1)以A为坐
8、标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，uuiuuC（0,2,0），D（1,1,0），A1（0，0,4），C1（0,2,4），所以 AB = （2,0，（1， 1， 4） uuuu uuuu因为 cos A1B， C1Duuuu uuuuA1B C1D18uucu uuuu =-| A1B |C1D |20 X , 18310所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为=uuuu标准文档实用文案uuuruuuinuuur设平面 ADCi 的法向量为 n 1 = (x, y , z),因为 AD = (1,1,0) , AC1 = (0,2,4)，所以
9、 n 1 AD =uuuu0, n1 A。= 0, 即卩 x + y = 0 且 y + 2z= 0，取 z = 1，得 x = 2 , y = 2，所以，n1 = (2, - 2,1)是平面 ADC1的一个法向量.取平面 ABA1的一个法向量为 n2 = (0,1,0).设平面 ADC 1与平面ABA1所成二面角的大小为9.n 1 n222由|cos 9匸帛：9八厂3,得sin3因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为3标准文档例 2、如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA = CB，AB = AA1，/BAA1 = 60(1) 证明：AB 丄A1C；若平面ABC丄平面AA
10、1B1B，AB = CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.n.解(1)证明：取AB的中点0,连接OC，OA1, A1B.因为CA = CB,所以OC丄AB.由于AB = AA1，/BAA1 = 60。，故ZAA1B为等边三角形，所以 OA1丄AB.因为OC AOA1 = O，所以AB丄平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB丄A1C.由(1)知OC丄AB , OA1丄AB.又平面ABC丄平面AA1B1B，交线为AB ,所以OC丄平面AA1B1B，故OA , OA1, OC两两相互垂直.uuuuuu以O为坐标原点，OA的方向为x轴的正方向，|OA I为单位长，建立如图所示的空间
11、直角坐标系 O-xyz.由题设知 A(1,0,0) , A1(0，3 , 0), C(0,0 ,：3), B( 1,0,0).uuu 则BC二(1,0,.,uuuu uuuuBB1 = AA1 = ( 1 ,-;3,0),uuuuA1C (0 ,设n = (x, y, z)是平面BB1C1C的法向量,uuuu故 cos n , ACuuurn BC = 0 , 则 uuurn BB1 = 0.可取 n = (J 3, 1,- 1).uuur n A1C uuur =5|n| |AiC|所以AiC与平面BBiCiC所成角的正弦值为5(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直
12、角坐标系；求出相关点的坐标；写出向量坐标；结合公式进行论 证、计算；转化为几何结论.(2) 求空间角应注意： 两条异面直线所成的角a不一定是直线的方向向量的夹角B,即COS a= |COS乩 两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求.例 3、如图，在四棱锥 S-ABCD 中，AB 丄AD , AB /CD , CD = 3AB = 3 ,平面SAD丄平面ABCD , E是线段AD上一点，AE = ED=, SE丄AD.(1)证明：平面SBE丄平面SEC；若SE= 1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.解：(1)证明：平面SAD丄平面ABCD，平面SAD G平
13、面ABCD = AD , SE?平面SAD ,SEX AD，ASE 丄平面 ABCD. vBE?平面 ABCD ,：SE 丄 BE. TAB 丄 AD , AB /CD ,CD = 3AB = 3 , AE= ED = 3 , aJAEB = 30 , QED = 60 /-zBEC= 90 ,即 BEXCE. 又 SEGCE= E,：BE丄平面 SEC. VBE?平面 SBE,平面SBEX平面SEC.由知，直线ES, EB, EC两两垂直如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，ES厂uuu为 z 轴，建立空间直角坐标系则 E(0,0,0) , C(oz ：3 , 0) , S(0,0,1)
14、 , B(2,0,0),所以 CE = (0 ,-uuur2 3 , 0) , CB 二(2 ,-2 3, 0), CS 二(0 , - 2 3 , 1).设平面SBC的法向量为n = (x, y, z),uuuCB = 0 , uurCS = 0.2x-2 .;3y = 0 , 即2 3y+ z= 0.z=则平面SBC的一个法向量为n = ( ;3 ,123)设直线CE与平面SBC所成角的大小为0,贝U sinuuu n CE 0= |uuu-In |CE|1 故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为一.4例4、如图是多面体ABC-A1B1C1和它的三视图.uuuBE 2 + /i + /，则厂，线段CC1上是否存在一点E,使BE丄平面AiCCi ?
