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1、61 3.构件的强度和刚度第3章 构件的强度和刚度学习目标 理解各种基本变形的应力概念和分布规律； 掌握虎克定律及材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义； 掌握各种基本变形的应力和强度计算方法； 掌握弯曲刚度的基本计算方法； 了解应力集中和交变应力的概念及材料在交变应力作用下的破坏特点。31 分布内力与应力、变形与应变的概念311 分布内力与应力 杆件受力作用时截面上处处有内力。由于假定了材料是均匀、连续的，所以内力在个截面上是连续分布的，称为分布内力。用截面法所求得的内力是分布内力的合力，它并不能说明截面上任一点处内力的强弱。为了度量截面上任一点处内力的强弱程度，在此引入应力这一重要概念。截
2、面上一点的内力，称为该点的应力。与截面相垂直的应力称为正应力，用表示；截面相切的应力称为切应力，也称剪应力，用表示。在国际单位制中，应力的基本单位是Nm2，即Pa。工程中常用单位为MPa，GPa，它们的换算为：l MPa=106Pa=1 Nmm2 1 GPa=103MPa=103 Nmm2312应 变在外力的作用下，构件的几何形状和尺寸的改变统称为变形。一般讲，构件内各点的变形是不均匀的，某点上的变形程度，称为应变。 围绕构件内K点取一微小的正六面单元体，如图31(a)所示，设其沿轴方向的棱边长为，变形后的边长为+，如图31(b)所示，称为的线变形。 当趋于无穷小时，比值=表示一点处微小长度的
3、相对变形量，称为这一点的线应变或正应变，用表示。 一点处微小单元体的直角的改变量图31(c)，称为这一点的切应变，用表示。 线应变和切应变是度量构件内一点变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。 图31正应变和切应变32轴向拉伸与压缩的应力应变及虎克定律321 拉伸与压缩时横截面上的应力 拉压杆，如图32(a)(b)所示，横截面上的轴力是横截面上分布内力的合力，为确定拉压杆横截面上各点的应力，需要知道轴力在横截面上的分布。试验表明，拉压杆横截面上的内力是均匀分布的，且方向垂直于横截面。因此，拉压杆横截面上各点只产生正应力且正应力沿截面均匀分布，如图32(c)(d)所示。设拉压杆横截面面积为A
4、，轴力为FN，则横截面上各点的正应力为 = (3-1) 正应力的符号规定与轴力相同。即拉应力为正，压应力为负。例31 如图33所示圆截面杆，直径d=40 mm，拉力F=60 kN，试求11，22截面上的正应力。解 (1)计算两截面上的轴力 FNl=FN2=60 kN (2)计算两截面上的应力图32拉伸与压缩时横截面上的应力 图33圆截面杆11截面的面积为 A1= =856 mm222截面的面积为 A2= = l 256 mm211截面上的正应力为 1= = 701 MPa22截面上的正应力为 2= 477 Mpa322拉压杆的变形和应变杆件在轴向外力作用下，杆的长度和横向尺寸都将发生改变。杆件
5、沿轴线方向的伸长(或缩短)量，称为轴向变形或纵向变形，将杆件横向尺寸的缩短(或伸长)量，称为横向变形。 设圆截面等直杆原长为，截面面积为A，在轴向外力F作用下，杆长由变为1，则杆件的轴向变形为=1。杆件拉伸时，为正；压缩时，为负。为杆件的绝对变形，其大小与原尺寸有关，为了准确地反映杆件的变形情况，消除原尺寸的影响，需要计算单位长度的变形量即相对变形，称为线应变。对于轴力为常量的等截面直杆，杆的纵向变形沿轴线均匀分布，故其轴向线应变为=。杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负值。323虎克定律实验研究指出：在一定范围内，杆件的绝对变形与所施加的外力F及杆件长度成正比，而与杆件的横截面面积A成反比。引
6、入与杆件材料有关的比例系数E，上式可写为 = (32)这一比例关系，称为虎克定律。其中F是轴向力，即FN。比例系数E称为材料的拉压弹性模量，它表示材料抵抗拉(压)变形的能力，弹性模量愈大，变形愈小，E的数值与材料有关。常用工程材料的E值，可查阅相关机械设计手册。从公式(32)还可以看出，分母EA愈大，杆件变形愈小，所以EA称为杆件的抗拉(压)刚度，它表示杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力。将 =代人=，可得虎克定律的另一表达式 =E (33)公式表明，在一定范围以内，杆件横截面上的正应力与纵向线应变成正比。例32 求图34(a)所示杆的轴向变形、最大正应力max及最大线应变max。已知：A1=2
7、A2=100 mm2，E=200 GPa，1=2=400 mm，F=10 kN。解：(1)作轴力图根据杆所受外力，可作出杆的轴力图，如图34(b)所示。 图34(2)计算杆的轴向变形由轴力图和杆的结构图可知，应先分别计算AB段的变形1，和BC段变形2，再求杆的总变形。 AB段： 1=0.2 mm (伸长) BC段： 2= = =04 mm(缩短) 杆的总变形： =1+2=0.2 mm04 mm =02mm (缩短)(3)计算杆的最大正应力max 由轴力图和杆的结构图可知，杆的最大正应力发生在BC段，为 max = =200 MPa(压)(4)计算杆的最大线应变max由=可知，最大线应变与最大正
8、应力相对应，故max也出现在BC段上的各点，为max = =0.001 (压)33材料在拉伸、压缩时的力学性能 材料的力学性能是指材料在受力和变形过程中所具有的特性指标。它是材料的固有特性，可以通过实验获得。上一节介绍的材料弹性模量E，就是材料重要的力学性能指标。331 材料拉伸时的力学性能 拉伸试验一般在常温、静载荷条件下进行，试验时采用标准试件。圆截面的标准试件，如图35所示。 图35圆截面拉伸试件 试件两端是夹持部分，中间工作长度和直径的关系为=l0d或=5d。 试件装到试验机上后，缓慢增加拉力F，试件在标距长度内产生变形，将对应的和绘成F一曲线，称为拉伸图。一般在试验机上能自动绘出。1
9、低碳钢的拉伸试验 低碳钢是工程上广泛使用的材料，在此以低碳钢Q235为例研究其拉伸时的力学性能。 图36是低碳钢的拉伸图。由于试验与试件长度和横截面积A有关，因此，即使同一材料当试件尺寸不同时，拉伸图也不相同。为消除试件尺寸的影响，将纵坐标F除以试件的横截面积A得到盯=FA，横坐标除以试件的长度得到=,即可绘出关系曲线，称为应力一应变图，如图37所示。该图表示从加载开始到破坏为止应力与应变的对应关系。图36低碳钢的拉伸图 图37低碳钢拉伸图 通过试验，对照关系曲线，可以看出低碳钢的拉伸试验分为4个阶段。 (1)弹性阶段 在图37所示应力一应变图的OA段内，如果卸去外力，试件的变形将全部消失，说
10、明在此阶段材料只产生弹性变形，所以OA段称为弹性阶段。弹性阶段的最高点A所对应的应力，是材料只发生弹性变形的最大应力，称为材料的弹性极限，用e表不。 在弹性阶段内的OA段，关系曲线为一直线，说明在此阶段内与成正比，即符合虎克定律，=E。直线最高点A所对应的应力，是正应力与正应变成正比的最大应力，称为材料的比例极限，用p表示。直线OA的斜率，数值上等于材料的弹性模量E。 弹性极限e和比例极限p的物理意义并不相同，但两者数值相近，例如，低碳钢Q235的e和p都约为200 MPa。因此，实际应用中对两者通常不作严格区分，即认为在弹性阶段范围内材料服从虎克定律。 (2)屈服阶段 在应力超过弹性极限e后
11、的关系曲线上，出现一段近似水平的小锯齿形曲线BC。此时，说明的应力有波动但几乎未增加，材料却发生很大的变形。此时，材料失去抵抗变形的能力，这种现象称为材料的屈服，BC段也被称为屈服阶段。在屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服极限，用s表示。低碳钢Q235的s约为235 Mpa。 工程上一般不允许材料发生塑性变形，因此，屈服极限是材料的重要强度指标。 (3)强化阶段 屈服阶段过后，关系曲线又成为上升的曲线，此时材料恢复抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化，CD段称为强化阶段。强化阶段的最高点D所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，用b表示。低碳钢Q235的b约为38
12、0 MPa。 强化阶段，应变随应力增加而显著增大，此时的变形主要是塑性变形。 (4)缩颈阶段 应力达到强度极限b时，试件在内部不均匀或有缺陷的薄弱处会出现局部收缩，称为缩颈现象，即图示DE段，最后导致试件断裂。 试件断裂后，其弹性变形随着载荷的消失而恢复，剩余塑性变形。断裂的两段试件总1。减去原来的长度，再除以原长的百分比，称为材料的伸长率，用表示，即 = 100 伸长率大的材料，在轧制或冷压加工成型时不易断裂，并能承受较大的冲击载荷。工程中按伸长率的大小将材料分为两类，5的材料，如结构钢、铝材等，称为塑性材料，低碳钢Q235的伸长率约为2530，是典型的塑性材料；5的材料，如铸铁、工具钢、陶瓷等，称为脆性材料。试件试验前截面面积为4，断裂后断口最小横截面的面积为A1，则 = 100 其中，称为断面收缩率。低碳钢Q235的断面收缩率约为60。 2铸铁的拉伸试验 铸铁拉伸时的关系曲线，如图38所示。图中没有明显的直线，也没有屈服和缩颈现象，试件是突然断裂的。铸铁断后伸长率约为0.50.6，是典型的脆性材料。衡量脆性材料强度的唯一指标是强度极限b。 图38铸铁拉伸图 332材料压缩时的力学性能为避免试件被压弯，金属材料的压缩试件应为短圆柱形，圆柱的高度一般为直径的2.53.5倍。 1低碳钢的压缩试验 如图39所示，实线部分是低碳钢压缩时的关系曲线，虚线是低碳钢拉伸时的关系曲线。由图可
