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1、第二章 随机变量基本要求 理解随机变量及其分布函数；深刻理解离散型的分布列、连续型的密度函数的概念，掌握它们的基本性质；掌握几种常见的分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布等）；深刻理解随机变量的期望与方差的概念及其意义；理解二维随机向量及其分布函数的概念。重点 随机变量的分布及其数字特征 难点 二维随机向量及其分布函数。第一节 随机变量的概念一、随机变量的概念变量中有确定性变量，即变量的变化是确定性的；还有不确定性变量即随机变量，它的取值带有随机性的，随机变量通常用、表示。随机试验的定量描述，就是每一个结果赋予相应的数值，使事件与数值间建立对应的关系。即把随机试验的结果进行数
2、量化。例如掷硬币，两种结果：“正”、“反”，“出现正面”“1”、“出现反面”“0”又如，人的体重，“体重为60公斤”“60”、“体重不超过60公斤”“60”定义 在随机试验中，若变量随着试验结果的不同而随机地取各种不同的数值，并且对取每一个数值或某一范围内的值都有相应的概率，则称为随机变量。随机试验的每一个试验结果都唯一对应于一个实数值。二、随机变量的类型（1）离散型 只可能取值有限个或可列个（虽然无限个，但可一个一个地排列起来）。（2）连续型 可取某一区间或上的一切值。例如，表示从一批产品中抽出件得到的次品数，它是离散型；表示人的体重，它是连续型。第二节 离散型随机变量一、概率分布概率分布
3、对于离散型不仅要知道它的全部可能取值，还要知道它取每个值的概率值。随机变量的取值为、，且，。称（，）或 为随机变量的概率分布或分布列。性质 （，）；例1 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为，如果命中了就停止射击，否则一直独立地射到子弹用尽。求耗用子弹数的分布列。例2 设随机变量的分布列为。试求：(1)；(2) ；(3) 例3 袋中有12个球，其中2个红球，从中任取3球，求取出的3个球中红球个数的概率分布。例4 某机器一天内发生故障的概率为，一旦发生故障则全天停工，一周五个工作日内，如不发生故障可获利10万元，如只发生一次故障则可获利5万元，如果发生2次故障则不获利也不亏损，如发生3次或3次以
4、上故障则亏损2万元。一周内所获利数为，求的分布列。二、几种常用的重要分布（1）两点分布（0-1分布）只取0、1两个数。 两点分布产生的背景是一次贝努里试验。中奖与否、合格与否、下雨与否、有效与否等都可用两点分布描述。（2）二项分布 为次独立重复试验中事件A出现的次数。记作的取值为0，1，2，二项分布产生的背景是重贝努里试验。所以两点分布是二项分布的特殊情形。例5 某车间的10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因，每部机器停车的概率为。（1）求同时停车数目的概率分布；（2）假设同时停车的机器超过两部就会影响车间的生产，求车间的生产正常运行的概率。例6 某工厂每天用水量保证正常的概率为，求最近用
5、量正常的天数的分布。，则使达到最大的为例7某射手射击10发子弹，命中率为，求至少命中3发的概率，最可能命中几发。（3）普阿松分布 的取值为0，1，2，记作，其分布列为，车站的候车人数、一年内发生暴雨的次数等都近似服从普阿松分布。例8 设服从普阿松分布，已知，求中的。性质 如果时，则。实际应用中，只要认为“很大”、 “很小”时就可以用普阿松分布近似描述二项分布，这时。例9 从次品率为的一批产品中以有放回抽取的方式任取100个产品，求（1）取得的次品数不多于2个的概率；（2）取得的次品数至少有1个的概率；（3）取得的次品数正好有1个的概率（次品数，近似服从普阿松分布）例10 为保证设备正常运转，必
6、须配备一定数量的维修人员，现有同类设备180台，且各台工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理，问应配多少名维修人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于。（3）超几何分布 设N个元素分为两类：第一类有个，第二类有个（）。从中不重复抽取个，为这个元素中第一类元素的个数，的分布列为，例11 某班有学生20名，其中女生5名。今从中任选4名，求被选到的女生数的分布。，3，4三、随机变量的分布函数分布函数 ，是一个随机事件，分布函数是这一随机事件的概率。性质（1）（单调性）时，并且（2）（3），（4）（右连续性）离散型随机变量的分布律为 则的分布函数为例1
7、2 设的分布函数为，求（1）的分布律；（2），。例13 设的分布为0 1 2 求的分布函数。第三节 连续型随机变量一、连续型随机变量的概念定义 对于随机变量的分布函数，若存在非负可积函数，有则称连续型随机变量。其中，称为的密度函数。表示随机变量落在区间的平均概率。如果在处连续，则，这就是将称为“密度函数”的原因。性质（1）连续型随机变量的分布函数是一个连续函数（2）在处，当连续时，有（3）；（4）（）例1 设的分布函数为，求常数A例2 设随机变量的密度函数为，求（1）常数A；（2）分布函数；（3）例3 设随机变量的分布函数为 求(1)常数A；（2）的密度函数；（3）。例4 某种元件的寿命（小时
8、）的概率密度为，求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。二、几种常用的重要分布（1）均匀分布 密度函数。均匀分布的密度函数在内是一个常数。分布函数 例5 某长途汽车每隔3个小时发一班车，某人来到车站前并不知道发车的时刻表，问他候车时间少于半小时的概率。（2）指数分布 ，常用于描述寿命分布。分布函数例6 某电子元件寿命服从参数为的指数分布，求（1）该元件使用800小时仍没有坏的概率；（2）在该元件使用了600小时仍没有坏的条件下，它还可以再使用800小时的概率。（）（3）正态分布 密度函数性质 （1）（2）关于直线对称，且在处取得最大值标准正态分布 密度记为，分布函数记为可通过查
9、表得到，几何上，可通过平移、缩放得到标准化变换 ，则性质 ；因为 ，即的取值几乎总是落在中。例7 已知，求、例8 公共汽车门的高度是按成年男性与车门的碰头的机会不超过设计的，设成年男性的身高（厘米），问车门的最低高度应为多少？第四节 随机变量函数的分布设是一个函数，所谓随机变量的函数，就是随机变量在取值时，取值为一、离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，则也是离散型随机变量。的分布律为 当取时，取值为，若均不相同，则由于（），因而的分布律为 若中有相同的值，则应将那些使相同的概率值相加。例1 设的分布为 0 1 2 求的概率分布。例2 设某市一个月内发生火灾的次数，求的概率分布。（）二、连续型随机变量函数的分布对于连续型随机变量，求的密度函数，一般根据分布函数的定义先求的分布函数，通过求导得到的密度函数例3 设，求的密度函数。解 时， 时，（微积分知识）定理 若随机变量的密度函数为，为严格单调函数，且可导，定义域与相同，值域为，则的密度函数为，其中是的反函数。13
