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1、本资料来源于七彩教育网http:/7.4等差 等比数列的应用(2)【知识网络】 1、运用等差、等比数列的知识，解决数列实际问题模型；2、运用等差、等比数列的知识，用切合实际意义的语言表述问题的解； 3、解决数列有关综合性问题。【典型例题】例1：（1）北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据114=146 115=161）（ ）A20%B188%C164%D10%答案:C。解析：设2003年底更新的车辆为x，总更新车辆数为a，则。（2）一条信息，若一人得知
2、后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为（ ）A、三个月 B、一个月 C、10天 D、20小时答案:D。解析，每小时传递人数构成数列2，4，8所以n小时共传递人数，小时。（3）数列前n项的和为 （ ）A B C D 答案:B。解析： （4）某厂在1997年底制定生产计划，要使2007年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为_,答案: 。解析：令97年底的产量为1，则2007年底的产量为4，则。（5）楼梯共n级，每步只能上1级或2级，走完这n级楼梯共有种不同的走法，则的关系式为 。答案：。解析：第n
3、+1级楼梯只能由第n级及第级楼梯上来。例2：等比数列共有偶数项，且所有项之和是奇数项之和的3倍，前3项之积等于27，求这个等比数列的通项公式。 答案: S=3 S奇S奇+qS奇=3S奇 q=2又（aq）3=27 aq=3 a1= an=2n-1=32n-2例3：某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元（1）问第几年开始获利；（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船问哪种方案合算？答案:（1）由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数
4、列设纯收入与年数n的关系为f（n），则由题知获利即为f（n）0，由，得nN，n3，4，5，17即第3年开始获利（2）方案一：年平均收入由于，当且仅当n7时取“”号 （万元）即前7年年平均收益最大，此时总收益为12726110（万元）方案二：f（n）40n-98-2102当n10时，f（n）取最大值102，此时总收益为1028110（万元）比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n7，故选方案一 例4：设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(lg2=0 3,lg3=0 4
5、) 答案: 设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有化简得 设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1nq1+2+(n1)=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+3lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n可见，当n=时，Sn最大 而=5,故lgan的前5项和最大 【课内练习】1已知数列满足（nN*），则= （ ）AB0CD答案:D。解析：从而知3为最小正周期，从而。2数列的前项和为，若，则这个数列一定是 ( )A等比数列 B等差数列 C从第二项起是等比数列 D从第二项起是等差数列答案:A。解析：由得时，即为等比数列。3若数列的
6、前8项的值各异，且 对任意都成立，若，则下列数列中可以取遍的8项的值的数列为 （ ）A B C D答案:B。解析：通过分析即可得。4已知是递增数列,且对任意都有恒成立,则实数的取值范围是 。答案 。解析：当时，恒成立，5一个凸n边形的内角成等差数列，公差为20度，且最小内角为60，则凸n边形的边数为 。答案：4或9。解析：或9。6.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成： 。 答案:512个。解析：形成的数列为1，2，4，87正数数列an的前n项和为Sn，且2(1) 试求数列an的通项公式；(2)设bn，bn的前n项和为Tn，求证：Tn0
7、，则当n2时，即，而an0，又（2）8 已知数列中，a1=，以an-1，an为系数的二次方程：an1x2anx+1=0都有实根、，且满足3+3=1。求证：a是等比数列；求的通项。 解析:3（+）=1 3 a=an-1+1 an=(an-1)a是等比数列a=()n-1=()n a=()n+9甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器
8、中药水的浓度为。（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式。解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，n次操作后，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而不（常数）。（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得 （3）令，利用待定系数法可求出=9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列。由，由等比数列的通项公式知：，所以。10设数列an的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式 3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4) (1)求证 数列an
9、是等比数列；(2)设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求数列bn的通项bn；(3)求和 b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1 解析 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t a2= 又3tSn(2t+3)Sn1=3t， n23tSn1(2t+3)Sn2=3tn3 得3tan(2t+3)an1=0 ,n=2,3,4,所以an是一个首项为1公比为的等比数列；(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1 可见bn是一个首项为1，公差为的等差数列 于是bn=1+(n1)=;(3)由bn=,可知
10、b2n1和b2n是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)= (b2+b4+b2n)=n(+)= (2n2+3n) 【作业本】A组1 已知由正数组成的等比数列an中,公比q=2, a1a2a3a30=245, 则a1a4a7a28= （ ） A 25 B 210 C 215 D 220答案:C。解析：。2已知实数满足，那么实数是（）A等差非等比数列 B等比非等差数列C既是等比又是等差数列 D既非等差又非等比数列答案:A。解析：。3设数列 xn满足，且，则
11、的值为 （ ）A100a B101a2 C101a100 D100a100答案:D。解析：4如图，一个计算装置有两个数据输入口、与一个运算结果输出口，当、分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：若、分别输入1，则；若输入固定的正整数，输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；若输入1，输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。 则= 答案： 。解析：5一个类似于杨辉三角的三角形数组(如图)满足：当n2时,第n行首尾两数均为n；中间各数都等于它肩上两数之和则第n行第2个数是 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4答案： 1。解析：考虑前n1行的第1个数之和与第n行第2个数的关系。
12、6设数列an中，首项a1=1，点均在直线上。 （1）求的值 （2）求数列an的通项公式答案:（1）由在上得 （2）是以2为首项，2为公比的等比数列，。7自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN，且x10不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c求xn1与xn的关系式；猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）。 答案:：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为，因此 即 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由式得 因为x10，所以ab. 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.8.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态
