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1、 浅谈求行列式的方法【摘要】行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文归纳行列式的各种计算方法，通过这一方法可以提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。【关键词】行列式，范德蒙行列式，数学归纳法，递推法。 引言行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。本文主要探讨行列式的计算方法以及它的简单应用。而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行
2、列式的常用方法。1定义法：根据行列式的定义，直接求其值。 例： 计算D=分析：根据定义，D是一个4！=24项的代数和，而每一项是取自不同的行不同的列。因而，在这个行列式里，除了acfh，adeh，bdeg，bcfg，与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg。注意：在应用定义法求非零元素的乘积项时，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。2性质法： 例：已知1998，2196，2394，1800均能被18整除，证明：四阶行列式D=能被18整除。分析：根据行列式的性质（行列
3、式的某行（列）的倍数相应的加到另一行（列），行列式不变，因此，D可变形为 即：D=18 其中（根据一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。因而，D能被18整除。 3三角化法： 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角行列式。这是计算行列式的基本方法之一。 例： 求D=的值。分析：通过观察，每行所含元素相同，可以根据行列式的性质行列式的某行（列）相应的倍数加到另一行（列），行列式不变。也就是说，D变为，再根据行列式的性质（一个行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。则，D=6，然后把它化成上三角形行列式，D=6，显然，D=48。注意：原则上，每个行
4、列式都可以利用行列式的性质为上（下）三角形行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再将其化为三角形行列式。4按行（列）展开法（降阶法） 降阶法是根据行列式D等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。例： 计算D=分析：由于每行所含的零元素比较多，我们可以通过降阶来减化计算。（按第列展开） 则：D=xy=注意：一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多的零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，在按该行（列）展
5、去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 5递推法： 应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示具有相同的较低阶行列式（比如，n1阶与n2阶等）的线性关系，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式）的值，变可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。 例：n阶行列式为分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零。这种行列式称为“三对角”行列式。从行列式的左下方 则：根据降阶法，可知 =2=2，从而，=1，也就是=n+1。注意：递推法的实质是降阶。这是由和表示的递推关系式。虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同结构，然后
6、得到一个递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行是话，就要适当地换递推关系式。 6范德蒙行列式 形如D=分析：此行列式的特点是第一行的元素均为1，其余各行对应元素的幂底数相同，从第二行起幂指数依次是1，2，3，n-1例： D=7数学归纳法： 一般是利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。例： 证明分析：利用数学归纳法可知：当n=1时，结论成立。假设当n=k时。结论成立。则当n=k+1时。即：结论成立。充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方
7、法求出行列式的值。还有乘积法、对称法、辅助法定义法、拉普拉斯展开法等，行列式的计算方法之间不是相互独立，而是相互联系的，一个行列式可能有几种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好。行列式也有一些简单的应用，例如：应用行列式解线性方程组，非奇异矩阵的判别等。参考文献：1、 李师正等 高等代数复习解题方法与技巧 高等教育出版社 20052、 张贤科 许甫华 高等代数学 清华大学出版社 20003、 刘学鹏等 高等代数复习与研究 南海出版公司 19954、 张禾瑞 郝鈵新 高等代数 高等教育出版社 19935、 许甫华 张贤科 高等代数解题方法 清华大学出版社 20016 李永乐 研究生入学考试线性代数 北京大学出版社 20007、 张敬和等 数学二考研题典丛书 东北大学出版社 2004.38、 张永曙 考研数学应试强化辅导与解题指南 西北工业大学出版社 1999.5
