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1、第六章 共(保)形映射前面几章，我们通过导数、积分、级数等概念以及它们的性质与运算着重讨论了解析函数的性质和应用。本章，我们将从几何的角度对解析函数的性质和应用进行讨论。在第一章我们已经讲过函数在几何上可以看做把平面上的一个点集(定义域)变到平面上的一个点集(值域)的变换(或映射)。由于解析函数具有良好的分析和运算性质，相应的解析函数构成的映射也会具有比较好的特性。解析函数所确定的映射是共形映射，它是复变函数论中最重要的概念之一。共形映射之所以重要，原因在于它能把比较复杂区域上所讨论的问题转到比较简单区域上去讨论。并且与物理中的许多概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用。如应用保
2、形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题。不但如此，20世纪中期亚音速及超音速飞机的研制促成了从保形映射理论到拟保形映射理论的发展。下面我们先分析解析函数所构成的映射的特性，由此引出共形映射这一重要概念；然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的共形映射的性质。第一节 共形映射的概念1、一般概念： 我们主要研究单叶解析函数的映射性质。设函数w=f(z)在区域内解析，并且在任意不同点，函数所取的值不同。那么我们就称它为区域的单叶解析函数，简称单叶函数。注解1、单叶函数是确定一个单射的解析函数。可以证明：若函数f(z)在区域D内单叶解析
3、，那么在D内任一点，注解2、如果一个函数在区域D内单叶解析，那么它的导数在D内任意一点不等于零；注解3、反之，这个定理的逆定理不成立，例如的导数在z平面上任意一点不为零，而这个函数在整个z平面上不是单叶的。但可以证明：如果函数w=f(z)在解析，并且，那么f(z)在的一个邻域内单叶解析。2、导数的几何意义： 设函数w=f(z)是区域D内的单叶解析函数。即w=f(z) 在区域D内解析，且。考虑过的一条简单有向光滑曲线C： 设，且。作通过曲线C上之点及的割线，由于割线的方向与向量的方向一致，可以看出：只要当趋近于时，向量与实轴的夹角连续变动趋近于极限，那么当趋近于时，割线确有极限位置，即为曲线C在
4、的切线的位置。但由光滑曲线的条件，极限存在。因此下列极限也存在：即为曲线C在处切线与实轴的夹角，在这里幅角是连续变动的，并且极限式两边幅角的数值是相应地适当选取的。规定：1.就是曲线C在的切线正向与实轴的夹角。2.相交于一点的两条曲线正向之间的夹角就是在交点处的两条切线正向之间的夹角。函数w=f(z)把简单光滑曲线C映射成过的一条简单曲线：由于，可见也是一条光滑曲线；它在的切线与实轴的夹角是即 因此，在处切线与实轴的夹角及C在处切线与实轴的夹角相差。这一数值与曲线C的形状及在处切线的方向无关。 假定上图中的x轴与u轴，y轴与v轴的正向相同，则曲线C的切线正向与映射过后的的切线的正向之间的夹角可
5、理解为曲线C经过w=f(z)映射后在处的转动角，即为曲线C经过w=f(z)映射后在处的转动角，转动角的大小和方向与曲线C的形状与方向无关。转动角不变性设在D内过还有一条简单光滑曲线，函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线。和上面一样，与在及处切线与实轴的夹角分别是及 所以，在处曲线到曲线的夹角恰好等于在处曲线C到曲线的夹角：因此，用单叶解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为单叶解析函数所作映射的保角性。上面是对单叶解析函数的导数的幅角所作的几何解释，下面再说明它的模的几何意义。根据假设，我们有由于是比值的极限，它可以近似地表示这种比值。在w=f(z)所作映射下
6、，及分别表示z平面上向量及w平面上向量的长度，这里向量及的起点分别取在及。当较小时，近似地表示通过映射后，对的伸缩倍数，而且这一倍数与向量的方向无关。我们把称为曲线C在点的伸缩率。是经过w=f(z)映射通过的任何曲线C在点的伸缩率，与曲线C的形状及方向无关。伸缩率不变性现在用几何直观来说明单叶解析函数所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解析的函数，那么w=f(z)把的一个邻域内任一小三角形映射成w平面上含的一个区域内的小曲边三角形，此曲边小三角形以为其一个顶点。这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。此外，w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆近似地映
7、射成圆所以，我们把单叶解析函数所确定的映射称为共形映射，或称为保形映射或保角映射。它在每一点保角，并且具有一定的伸缩率。第二节 分式线性映射分式线性映射是共形映射中比较简单但又很重要的一类映射。它由下面形状的分式线性函数定义：其中是复常数，而且。否则，有不满足共形映射的条件，即此时不能构成共形映射。特别地，当时，即为线性函数，我们也称它为整线性函数。 若用乘的两边，可得若取定w，则上式关于z是线性的，而取定z时，它关于w也是线性的，因此我们称上式是双线性的，故而也称分式线性映射为双线性映射。分式线性函数的反函数为它也是分式线性函数，其中。因此，分式线性映射的逆映射也是分式线性映射。 易知，两个
8、分式线性映射的复合，仍是分式线性映射。设(), (), 将后一式代入前一式，得()我们也可以把一个一般形式的分式线性映射分解成一些简单映射的复合。设用除法可把它化为令，那么 (为常数)当c=0时， 因此，一般分式线性函数是由下列四种简单函数复合(叠合)而得的(将w平面看成是与z平面重合的)：（1）、（为一个复数）；（2）、（为一个实数）；（3）、（r为一个正数）；（4）、。把z及w看作同一个复平面上的点，则有：（1）、确定一个平移；（2）、确定一个旋转；（3）、确定一个伸缩映射；（4）、是由映射及叠合而得。前者称为关于单位圆周的对称映射，并称是关于单位圆周的对称点；后者称为关于实轴的对称映射。
9、 定义：（关于圆周的对称点）设C为以原点为中心，r为半径的圆周。在以圆心为起点的一条是射线上，如果有两点P与满足关系式 则称这两点为关于这圆周的对称点。求法：设P在C外，从P做圆周C的切线PT，由T作OP的垂线，与OP交于，那么P与即互为对称点。 事实上，所以，即。 规定：无穷远点的对称点是圆心O。分式线性函数的映射性质： 1.保角性首先把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域。如果把及其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把及其一个邻域保形映射成及其一个邻域。如果把及其一个邻域保形映射成t=及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把及其一个邻域保形映射成及其一个邻域。定理1
10、 分式线性函数把扩充z平面保形映射成扩充w平面。具有保角性。2.保圆性规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。定理2 在扩充复平面上，分式线性映射把圆周映射成圆周，即具有保圆性。证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、伸缩映射及反演映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射也把圆映射为圆即可。在圆的方程（如果a=0，这表示一条直线）中，代入则得圆的复数表示：其中a,b,c,d是实常数，是复常数。函数把圆映射成为即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。 # 根据保圆性，易知：在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点被
11、映射成无穷远点，那么它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点被映射成无穷远点，那么它就映射成直线。3.保对称性设已给圆，如果两个有限点及在过的同一射线上，并且，那么我们说及是关于圆C的对称点。注解1、圆C上的点是它本身关于圆C的对称点；注解2、规定：及是关于圆C的对称点；引理 不同两点及是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过及的任何圆与圆C正交。证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或者C是半径为有限的圆，及之中有一个是无穷远点，则结论显然。现在考虑圆C为，而及都是有限的情形。（必要性）设及关于圆C的对称，那么通过及的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆C直交。作过及的任何圆（半径为有限）C
12、。过作圆C的切线，设其切点是z。于是，从而。这说明，而上述C的切线恰好是圆C的半径，因此C与C正交。（充分性）过及作一个圆（半径为有限）C，与C交于一点z。由于圆C与C正交，C在z的切线通过圆C的心。显然，及在这切线的同一侧。又过及作一直线L，由于L与C直交，它通过圆心。于是及在通过的一条射线上。我们有因此，及是关于圆C的对称点。 #定理3 如果分式线性函数把 z平面上圆C映射成 w平面上的圆C，那么它把关于圆C的对称点及映射成关于圆C的对称点及。证明：过及的任何圆是由过及的圆映射得来的。由引理，过及的任何圆与圆C正交，从而由分式线性函数的保形性，过及的任何圆与圆C正交。再利用引理，及是关于圆
13、C的对称点。 #例：考虑扩充w平面上的一个圆|w|=R。分式线性函数，把及映射成关于圆|w|=R的对称点0及把扩充z平面上的曲线映射成为圆|w|=R。由定理3知，上式也表示一个圆，及是关于它对称点。第三节 唯一决定分式线性映射的条件考察分式线性映射 上式中含有四个常数。但是，如果用这四个常数种的任何一个去除分子和分母，就可将分式中的四个常数化为三个常数。所以，上述分式线性映射中实际上只有三个独立的常数，因此，只需给定三个条件，就能唯一确定一个分式线性映射。对此，我们有如下定理：定理1 对于扩充 z平面上任意三个不同的点以及扩充 w平面上任意三个不同的点，存在唯一的分式线性函数，把分别映射成。证
14、明：先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是那么，由得同理，有：， 因此，有，由此，即可解出分式线性映射。显然这样的分式线性映射是由三对对应点所确定的唯一的分式线性映射。其次，如果已给各点除外都是有限点。则所求分式线性函数具有如下形式：那么，由同理有，由此，也可以解出分式线性映射。显然这样的分式线性映射也是唯一的。 #定理2 扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆。证明：设C是z平面上的一个圆，C是w平面上的一个圆，在C和C上分别取三个不同的点和，由定理1，存在唯一的分式线性函数，把映射成，从而把圆C映射成圆C。 #设分式线性映射把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C。于是，C及C把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域及，其边界分别是C及C。需要指出的是，在分式线性映射下，C的内部不是映射成C的内部，便是映射成C的外部，即不可能找到分式线性映射将C内的一部分映射成C的内部而另一部分映射成C 的外部。反证：
