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1、秒杀高考数学题型之切线及公切线【秒杀题型四】：求切线方程。【题型1】：求函数在某点处的切线。秒杀策略：求出导数，代入这个点的横坐标得切线斜率，利用点斜式求出切线方程。1.(2009年新课标全国卷)曲线在点处的切线方程为 。【解析】： ，切线方程为：。2.(2010年新课标全国卷3)曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D.【解析】： ，切线方程为：，选A。3.(2010年新课标全国卷)曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D.【解析】：，切线方程为：，选A。4.(2014年新课标全国卷II8)设曲线在点处的切线方程为，则 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】
2、：，代入得，选D。5.(2016年新课标全国卷III15)已知为偶函数，当时，则曲线在 点处的切线方程是 。【解析】：当时，切线方程为。6.(2017年新课标全国卷I)曲线在点处的切线方程为 。【解析】:，切线方程为：。7.(2018年新课标全国卷I5)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )A. B. C. D.【解析】：由为奇函数得，切线方程为：，选D。8.(2018年新课标全国卷II13)曲线在点处的切线方程为 。【解析】：，切线方程为：。9.(2019年新课标全国卷I13)曲线在点处的切线方程为 。【解析】：，切线方程为。10.(2020年新课标全国卷I6)函数的图像在点处的
3、切线方程为 ( )A. B. C. D.【解析】：选B。11.(2019年新课标全国卷III6)已知曲线在点处的切线方程为，则( )A. B. C. D.【解析】：，将代入得，选D。12.(高考题)若曲线在点处的切线经过坐标原点，则= 。【解析】：，切线方程为：，代入原点，得。13.(高考题)设曲线在点处的切线与曲线在点P处的切线垂直，则P的坐标为 。【解析】：对于函数，切线方程为：，对于函数，因为两条切线垂直，所以，即，P点坐标为。与数列综合：14.(高考题)对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列 的前项和的公式是 。【解析】:，切线方程为：，令，得，由等比数列求和得。15.(
4、高考题改编)设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,令,则 。【解析】：，切线方程为：，令，得，。16.(高考题)函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，其中，若 则的值是 。【解析】：，切线方程为：，令，得，是等比数列，。【题型2】：求函数过某点处的切线。秒杀策略：点在曲线外，设曲线上任意一点P，求出在这一点的切线方程，然后利用切线过曲线外一点，求出曲线上对应点的坐标，进而求出切线方程。1.(高考题)过原点作曲线的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 。【解析】：设点，则，切线为:，过原点得，切点为，。2.(2019年新高考江苏卷)在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A
5、处的切线经过点(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 。【解析】：设A，切线方程为：，代入得，A。【题型3】：切线与坐标轴或某直线围成三角形的面积。秒杀策略：求出切线方程，与坐标轴或某直线求交点，进而求出面积。1.(2007年新课标全国卷10)曲线在点处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 ( ) A. B. C. D.【解析】：利用直线与坐标轴所围成三角形面积公式：(为切线在两坐标轴上的截距)，切线方程为：，选D。2.(高考题)若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则 ( )A.64 B.32 C.16 D.8 【解析】：，切线方程为，令，得纵截距为，令，得横截距为，选A。3.
6、(高考题)曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为 。【解析】：可求切线方程为，求出与轴、直线的交点，得面积为。4.(2008年新课标全国卷21)设函数，曲线在点处的切线方 程为. （1）求的解析式; （2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出 此定值。【解析】:（1），得或，（2） 证明：已知函数，都是奇函数，所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形。而，可知函数的图像向右与向上平移一个单位得到函数的图象，故函数的图象是以点为中心的中心对称图形。（3）证明：在曲线上任取一点，由知过
7、此点的切线方程为，令得，切线与直线的交点为。令得，切线与直线交点为；直线与直线的交点为，所围三角形的面积为定值。【题型3】：求两函数的公切线。公切线可求。秒杀策略：通过其中一个函数求出公切线，利用其是另一个函数的切线，求出所求值。1.(2015年新课标全国卷II)已知曲线在点处的切线与曲线相切，则= 。【解析】：在点处的切线方程为，代入曲线中，由得。秒杀方法：若一直线是一个二次函数的切线，一般情况利用处理，较导数简单。2.（2021年模拟题精选）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ( )A.1B.9C.1或9D.2【解析】：同上题，选C。公切线不可求。秒杀策略：其中一个函数设出任意点，求出过这
8、个点的切线，利用其是另一个函数的切线，求出所求值。1.(2016年新课标全国卷II16)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 。【解析】：法一：设，切线方程为：，对于函数，切点坐标为，将其代入中，得，。法二：，代入切线得，将代入，得，同理由得，得，。法三：影子函数法：如果一个函数通过平移可得到另一个函数，那么这两个函数叫做互为影子函数。向左平移一个单位，再向下平移两个单位可得到，有向左平移一个单位，再向下平移两个单位可得到，因为是公切线，所以与重合，即，切点为，代入直线中，得。2.(2021年模拟题精选)若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则实数 。【解析】：曲线的导数为；曲线的导数为，由，且，得，即切点坐标应为，代入，得，解得。
