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1、菁优教育一对一辅导几类递推数列的通项公式的求解策略已知递推数列求通项公式，是数列中一类非常重要的题型，也是高考的热点之一数列的递推公式千变万化，由递推数列求通项公式的方法灵活多样，下面谈谈它们的求解策略一、方法：利用叠加法，例1数列满足，求数列的通项公式解：由 得=例2数列满足，且，求数列的通项公式 分析：注意到左右两边系数与下标乘积均为，将原式两边同时除以，变形为令，有，即化为类型， 以下略二、 方法：利用叠代法 ，例3数列中，且，求数列的通项 解：因为，所以 = 三、用构造法（构造等差、等比数列）。（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。解法：把原
2、递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例5. 已知数列中，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用的方法解决.。例6. 已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以练一练1、已知，求；2、已知，求；3.设数列的首项，求数列通项公式四、， 为常数 方法：可用下面的定理求解：令为相应的二次方程的两根(此方程又称为特征方程)，则当时，；当时，其中分别由初始条件所得的方程组和 唯一确定例5数列，满足
3、：，且，求，解：由得 ， ，代入到式中，有，由特征方程可得，代入到式中，可得说明：像这样由两个数列，构成的混合数列组求通项问题，一般是先消去(或)，得到(或)，然后再由特征方程方法求解五、一般地，若正项数列中，则有，令(为常数)，则有数列为等比数列，于是，从而可得 例7. 已知数列满足，求数列的通项公式。六.公式法：已知（即）求，用作差法：。例8已知数列的前项和满足求数列的通项公式。解：由当时，有，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并练一练：已知的前项和满足，求；数列满足，求；七、形如的递推数列都可以用倒数法求通项。例9： 求练一练：已知数列满
4、足=1，求；【课堂训练】 1已知数列中，满足a，a+1=2(a+1) （nN）求数列的通项公式。2已知数列中，a0,且a，（nN）3已知数列中，a，aa（nN）求数列的通项公式4已知数列中，a，a3a，求数列的通项公式6设数列满足a=4，a=2，a=1 若数列成等差数列，求a7设数列中，a=2，a=2a+1 求通项公式a【课后训练】1. 在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。2. 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式。3. 已知数的递推关系为，且求通项。4. 在数列中，,，求。5. 已知数列中且（），求数列的通项公式。6. 已知数列的前n项和，其中是首项为1，公差为2的等差数
5、列. 求数列的通项公式；8.已知数列的前项和为，且满足求数列的通项公式；9. 设数列满足， 求数列的通项；10. 数列的前项和为， 求数列的通项；11.已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()求数列的通项公式12. 已知数列满足，求数列的通项公式。13. 已知数列满足，求数列的通项公式。14. 已知数列满足，求数列的通项公式。15. 已知数列满足，求数列的通项公式。16 已知数列满足，求数列的通项公式。17. 已知数列满足，求数列的通项公式。18. 已知数列满足，求数列的通项公式。在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式。已知数列中，前项和与的关系是 试求通项公式。已知数的递
6、推关系为，且求通项。在数列中，,，求。已知数列中且（），求数列的通项公式。已知数列的前n项和，其中是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列的通项公式；已知等差数列an的首项a1 = 1，公差d 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项求数列an与bn的通项公式；已知数列的前项和为，且满足求数列的通项公式；设数列满足，求数列的通项；数列的前项和为，求数列的通项；已知数列和满足：，且是以为公比的等比数列证明：；若，证明数列是等比数列；设数列an的前项的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； 求证数列an为等比数列已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数
7、列的前n项和为，点均在函数的图像上（）求数列的通项公式；已知数列的前n项和Sn满足()写出数列的前3项 ()求数列的通项公式8. 已知数列满足，求数列的通项公式。已知数列满足，求数列的通项公式。已知数列满足，求数列的通项公式。已知数列满足，求数列的通项公式。已知数列满足，求数列的通项公式。14. 已知数列满足，求数列的通项公式。17. 已知数列满足，求数列的通项公式。答案：1. 解: ()由,得 又,即,得. ()当n1时, 得所以是首项,公比为的等比数列2. 解：当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,
8、有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化简得：上式可化为：故数列是以为首项, 公比为2的等比数列.故 数列的通项公式为：.3. 解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）.6. 方法（1）：构造公比为2的等比数列，用待定系数法可知方法（2）：构造差型数列，即两边同时除以 得：，从
9、而可以用累加的方法处理方法（3）：直接用迭代的方法处理：7. 分析：-由得-由得，得-由得，得 -用代得 -：即- 8. 解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。9. 解：由得则所以数列的通项公式为10. 解：由得则所以11. 解：两边除以，得，则，故因此，则12. 解：因为，所以，则，则所以数列的通项公式为13. 解：因为所以所以式式得则则所以由，取n=2得，则，又知，则，代入得。14. 解：设将代入式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=1，代入式，得由0及式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。第 3 页 共 3 页
