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1、ABCEFG图1-2DABCDEFG图1-3ABCFG图1-1例题1。在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图1-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图1-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图1-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（
2、3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图1-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）ABCEFG图甲HDQ分析：（1）通过观察与度量容易猜想BF=CG；证明线段相等，常常通过2各三角形全等，观察图形只需证明ABFACG即可.（2）通过观察、测量DE、DF与CG的长度，可以猜想DEDF=CG，欲证明结论：一条线段等于两条线段之和常采用“截长补短”的方法，（如图甲）为此可过点D作DHCG于点H，相当于在GC上截取了GH=DE，只需证CH=DF即可，因而可证FDCHCD或RtFQDRtHQC即可.证明：在ABF和ACG中，F=G=
3、90，FAB=GAC，AB=AC，ABFACG（AAS），BF=CG （2）DE+DF=CG；证明：过点D作DHCG于点H（如图甲）DEBA于点E，G=90，DHCG，四边形EDHG为矩形，DE=HG，DHBGGBC=HDCAB=AC，FCD=GBC=HDC又F=DHC=90，CD=DC，FDCHCD（AAS），DF=CHGH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG（3）仍然成立（注：本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD）例2、（07年临沂市）如图1，已知中，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转（
4、1）在图1中，交于，交于证明；在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；图1图2图3（第2题图）（3）继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明分析（1）通过构造包含DM、DN在内的2个三角形全等来解决，为此连接BD，可以根据判定条件ASA证明BMDCND或ADMBDN来说明DM=DN.证明：连结在中，例题3（06青岛市）把两个全等的等腰直角三角板ABC和E
5、FG(其直角边长为4)叠放在一起(如图)，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕点O按顺时针方向旋转(旋转角满足条件：090)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分(如图).在上述旋转过程中BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论.解：ABC为等腰直角三角形，O(G)为其斜边的中点，CG=BG，CGAB.ACG=B=45又BGH与CGK均为旋转角，BGH=CGK，BGHCGK，BH=CK，=44=4，即四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化.ABCEKHFG(O)ABFCEG(O)例题4。06
6、河北省课改实验区的一道考题：实验与推理如图11，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点（点也是中点）按顺时针方向旋转（1）如图12，当与相交于点与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺旋转到如图13所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图11图12图13解：（1）通过测量容易得出： 证明：是等腰直角三角形，四边形是正方形，又， （2）仍然成立证明：是等腰直角三角形，四边形是正方形，又
7、，例题5牛刀小试：(04河北省)用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD，把一个含有60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.ABCDEF(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E，F时(如图)，通过观察和测量BE，CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.(2) 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD延长线相交于点E，F时(如图)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.提示：（1）BE-=CF（2）结论仍然成立.两问都是通过ABEACF证得.例题6（06年山东枣庄市课标卷）两个全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由ABCEDM
