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1、选修42矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法考点新知掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换解决简单问题.1. 求点A(3,6)在矩阵对应的变换作用下得到的点的坐标 (3,3)2. 点(1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(2，4)，求m、k的值(m=2.k=-4)3. 已知变换T是将平面内图形投影到直线y2x上的变换，求它所对应的矩阵解：将平面内图形投影到直线y2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作用变换为(x,2x)，则有，T.4. 求曲线y在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲
2、线方程(x)5. 求直线xy5在矩阵 对应的变换作用下得到的图形(点(0,5)1. 变换一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应唯一的一个平面点(向量)(x，y)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)(x，y)或T：.一般地，对于平面向量的变换T，如果变换规则为T：，那么根据二阶矩阵与列向量的乘法规则，可以改写为的矩阵形式，反之亦然(a，b，c，dR)2. 几种常见的平面变换(1) 当M时，则对应的变换是恒等变换(2) 由矩阵M或M(k0)确定的变换TM称为(垂直)伸压变换(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称(4) 当M时，对应的变换叫旋转变换
3、，即把平面图形(或点)逆时针旋转角度(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换(6) 由矩阵M或确定的变换称为切变变换3. 变换的复合与矩阵的乘法(1) 一般情况下，ABBA，即矩阵的乘法不满足变换律(2) 矩阵的乘法满足结合律，即(AB)CA(BC)(3) 矩阵的乘法不满足消去律.题型1求变换前后的曲线方程例1(2011盐城三模)求曲线C：xy1在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线C1的方程解：设P(x0，y0)为曲线C上任意一点，它在矩阵M对应的变换下作用得到点Q(x，y)，由，得，解得.因为P(x0，y0)为曲线C上一点，所以x0y01，所以1，即x2y24，所以曲线
4、C1的方程为x2y24.已知矩阵M，N，矩阵MN对应的变换把曲线ysinx变为曲线C，求曲线C的方程解： MN， 设P(x，y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线ysinx上点P0(x0，y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有，即.所以.又点P(x0，y0)在曲线ysinx上，故y0sinx0，从而ysinx.所求曲线C的方程为ysinx. 题型2根据变换前后的曲线方程求矩阵例2(2011南通三模)已知圆C：x2y21在矩阵A(a0，b0)对应的变换作用下变为椭圆1，求a，b的值解：设P(x，y)为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P(x，y)，则，即.又因为点P(x，y)在椭圆
5、1上，所以1.由已知条件可知，x2y21，所以 a29，b24.因为 a0，b0，所以 a3，b2.(2011南京一模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：xy20在矩阵M对应的变换作用下得到直线m：xy40，求实数a，b的值解：解法1：在直线l：xy20上取两点A(2,0)，B(0，2)，A，B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A，B，因为，所以A的坐标为(2，2b)；，所以B的坐标为(2a，8)；由题意A，B在直线m：xy40上，所以，解得a2，b3.题型3平面变换的综合应用例3(2010江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)设k为非零实数，矩阵M，
6、N，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，A1B1C1的面积是ABC面积的2倍，求k的值解：由题设得MN，由，可知A1(0,0)、B1(0，2)、C1(k，2)计算得ABC的面积是1，A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|212.所以k的值为2或2.1. 设T是以Ox轴为轴的反射变换，求变换T的矩阵解：(x，y)(x，y)，而，T.2. 求圆x2y21在矩阵A对应的变换下，得到的曲线的方程解：设圆x2y21上任意一点P(x1，y1)在矩阵A作用下变为Q(x，y)，则，所以，即.代入xy1可得到椭圆方程1.3. 在线性变换下，直线xyk(k为常数)上的所有点都变
7、为一个点，求此点坐标解：，而xyk，(k为常数)，所以直线xyk(k为常数)上的所有点都变为一个点(k,2k)第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量考点新知理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.1. 设M，N，求MN.2. (2010宿迁期末)已知矩阵M，若矩阵M的逆矩阵M 1，求a，b的值（a5，b3.）3. 求矩阵的特征多项式解：f()(1)(2)2234.4. 求矩阵A的特征值解：f()(1)(4)62310(2)(5)令f()0，则15，22.5. 求矩阵的属于特
8、征值1的一个特征向量解：当11时，由(1)，x0，令y1，所以A的属于特征值1的特征向量1.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A、B，若有ABBAE，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵(2) 若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)1B1A1.(3) 利用行列式解二元一次方程组2. 特征值与特征向量(1) 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使A，那么称为A的一个特征值，而称为A的属于特征值的一个特征向量(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)特别地，当0时，特征向量就
9、变换成零向量. 题型1求逆矩阵与逆变换例1将曲线y2sin4x经矩阵M变换后的曲线方程为ysinx，求变换矩阵M的逆矩阵解：解法1：由条件知点(x，y)在矩阵M作用下变换为点，即M，所以M，设M1，于是有MM1，所以，解得，所以M的逆矩阵为.解法2：由于M， ，所以，即M的逆矩阵为.(2010徐州市摸底)已知M，N，求二阶方阵X，使MXN.解：解法1：设X，按题意有，根据矩阵乘法法则有，解之得. X .解法2：因为MXN，所以XM1N，M1.XM1N.题型2求特征值与特征向量例2(2011南通三模)已知矩阵M，其中aR，若点P(1，2)在矩阵M的变换下得到点P(4,0)(1) 求实数a的值；(
10、2) 求矩阵M的特征值及其对应的特征向量解：(1) 由，得22a4a3.(2) 由(1)知M，则矩阵M的特征多项式为f()(2)(1)6234.令f()0，得矩阵M的特征值为1与4.当1时，xy0，矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为；当4时，2x3y0.矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.(2010宿迁模拟)求矩阵M的特征值和特征向量，并计算M8的值解：矩阵M的特征多项式f()(1)(1)，令f()0，得到矩阵M的特征值为11或21，矩阵M的属于特征值11的一个特征向量为1，矩阵M的属于特征值21的一个特征向量为2.又2132.所以MM(2132)2(M1)3(M2)2(11)3(22)，
11、M8M8(2132)2(M81)3(M82)2183(1)8.题型3根据特征值或特征向量求矩阵例3(2011南通泰州二模)已知二阶矩阵A，矩阵A属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2.求矩阵A.解：由特征值、特征向量定义可知，A111，即1，得.同理可得，解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵A.(2010徐州市第三次调研)已知矩阵A，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为1，属于特征值1的一个特征向量为2，求矩阵A.解：由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为1，可得3，即 .由矩阵A属于特征值2的一个特征向量为2，可得(1)，即，解得 ，即矩阵A.1. 求矩阵A的逆矩阵A的逆矩阵为A1.2. 若N，求矩阵N.3. (2011徐州一模)已知矩阵M的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量矩阵M的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为.4. 已知矩阵A，A的一个特征值2，其对应的特征向量是1，求矩阵A.解：A11，2，.所以A.5. 求矩阵的特征值及对应的特征向量矩阵有两个特征值11，23；属于11的一个特征向量为，属于23的一个特征向量为.1
