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1、高等数学不定积分总结第5章 不定积分一、不定积分的概念和性质若()()F x f x =，则()d ()f x x F x C =+?， C 为积分常数不可丢！性质1()d ()f x x f x ?=?或 d ()d ()d f x x f x x =?或()d ()d f x x f x dx?=? 性质2()d ()F x x F x C =+?或d ()()F x F x C =+?性质3()()d f x g x x ?()d ()d f x x g x x =? 或()()d ()d ()d f x g x x f x x g x x +=+?；()d ()d kf x x k f
2、 x x =?.二、基本积分公式或直接积分法基本积分公式d k x =?k x C +d x x =?111x C +( 为常数且1-)1d x x =?ln x C +e d xx =?e x C + d xa x =?ln xa C a +cos d x x =?sin x C + sin d x x =?cos x C -+2d cos x x =?2sec d x x =?tan x C + 2d sin x x =?2csc d x x =?cot x C -+sec tan d x x x =?sec x C + csc cot d x x x =?csc x C -+2d 1xx
3、 =+?arctan x C +（arccot x C -+）=arcsin x C+（arccos x C -+）直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法：1.第一类换元法（凑微分法）()()()d ()()d ()d ()()d ()u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ?=+?.注 (1)常见凑微分：2111(), (), 2), (ln |)2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+=+2
4、1(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x =-=- (2)适用于被积函数为两个函数相乘的情况： 若被积函数为一个函数，比如：()22d 1d x xe x ex =?，若被积函数多于两个，比如：4sin cos d 1sin x xx x +?，要分成两类；(3)一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成()x ?； (4)若被积函数为三角函数偶次方，降次；奇次方，拆项；2.第二类换元法11()()()()d ()()d ()()d ()x t t x t x f x xf t t t f t t t G t C ?
5、-=?=+?常用代换类型:(1) 对被积函数直接去根号; (2) 到代换1x t=;(3) 三角代换去根号:tan x a t =sec x a t =、sin (cos )x a t or x a t = (f x x ?，t = (f x x ?，sec x a t =(f x x ?，sin x a t = (f x x ?，tan x a t = ()d x f a x ?，x t a = (f x x ?，t =三、分部积分法： d d uv x u v =?d d uv v u uv u v x -=-?.注 (1)u 的选取原则：按“ 反对幂三指” 的顺序，谁在前谁为u ，后面的为v ;(2)d u v x ?要比d uv x ?容易计算；(3)适用于两个异名函数相乘的情况，若被积函数只有一个，比如：arcsin 1x dx ?，?（t =； (4)多次使用分部积分法：uu u v vv?求导积分
