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1、 高考数学专项练习及答案【三】 一、选择题 1.已知等比数列an，且a4+a8= dx，则a6(a2+2a6+a10)的值为() A.2 B.4 C. D.-9 答案：A命题立意：此题考察等比数列的性质及定积分的运算，正确地利用定积分的几何意义求解积分值是解答此题的关键，难度中等. 解题思路：由于dx表示圆x2+y2=4在第一象限内局部的面积，故dx=22=，即a4+a8=，又由等比数列的性质，得a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=2，应选A. 2.(东北三校二次联考)已知an是等差数列，Sn为其前n项和，若S21=S4 000，O为
2、坐标原点，点P(1，an)，点Q(2 011，a2 011)，则=() A.2 011 B.-2 011 C.0 D.1 答案：A命题立意：此题考察等差数列前n项和公式与性质及平面对量的坐标运算，难度中等. 解题思路：由已知S21=S4 000a22+a23+a4 000=3 979a2 011=0，故有a2 011=0， 因此=2 011+ana2 011=2 011，应选A. 3.以双曲线-=1的离心率为首项，以函数f(x)=4x-2的零点为公比的等比数列的前n项的和Sn=() A.3(2n-1) B.3-(2n-1) C.- 3(2n-1) D.-3+(2n-1) 答案：B命题立意：此题
3、考察双曲线的离心率及函数的零点与等比数列前n项和公式的应用，难度较小. 解题思路：由双曲线方程易得e=，函数零点为，故由公式可得Sn=3=3-，应选B. 4.等差数列an的前n项和为Sn，若a4=15，S5=55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为() A.4 B.1 C.-4 D.-14 答案：A命题立意：此题考察等差数列的性质、前n项和及直线斜率的坐标计算形式，难度较小. 解题思路：由题S5=55，故a1+a5=22，依据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=22，故a3=11，由于a4=15，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为kPQ=4，应选A. 5.在等
4、比数列an中，对于nN*都有an+1a2n=3n，则a1a2a6=() A.()11 B.()13 C.35 D.36 答案：D命题立意：此题考察数列的递推公式、等比数列的性质及整体代换思想，考察考生的运算力量，难度中等. 解题思路：由等比数列的性质可知，a1a2a3a4a5a6=(a2a6)a4(a1a5)a3=(a3)3(a4)3=(a3a4)3，令n=2，得a3a4=32，应选D. 6.等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，已知(a8+1)3+2 013(a8+1)=1，(a2 006+1)3+2 013(a2 006+1)=-1，则以下结论正确的选项是() A.d0，S2 013=2
5、 013 C.d0，S2 013=-2 013 答案：C命题立意：此题考察函数的性质单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n项和公式，难度中等. 解题思路：记f(x)=x3+2 013x，则函数f(x)是在R上的奇函数与增函数;依题意有f(a8+1)=-f(a2 006+1)=1f(0)=0，即f(a8+1)=f-(a2 006+1)=1，a8+1=-(a2 006+1)，a8+10a2 006+1即a8a2 006，d=c，因此有2a=3c，故=. 三、解答题 11.已知函数f(x)=x2+bx为偶函数，数列an满意an+1=2f(an-1)+1，且a1=3，an1. (1)设bn=log2(a
6、n-1)，求证：数列bn+1为等比数列; (2)设cn=nbn，求数列cn的前n项和Sn. 命题立意：此题主要考察函数的性质，数列的通项公式和前n项和公式等学问.解题时，首先依据二次函数的奇偶性求出b值，确定数列通项的递推关系式，然后由等比数列的定义证明数列bn+1为等比数列，这样就求出数列bn的通项公式，进一步就会求出数列cn的通项公式，从而确定数列cn的前n项和Sn的计算方法. 解析：(1)证明： 函数f(x)=x2+bx为偶函数， b=0， f(x)=x2， an+1=2f(an-1)+1=2(an-1)2+1， an+1-1=2(an-1)2. 又a1=3，an1，bn=log2(an
7、-1)， b1=log2(a1-1)=1， =2， 数列bn+1是首项为2，公比为2的等比数列. (2)由(1)，得bn+1=2n， bn=2n-1， cn=nbn=n2n-n. 设An=12+222+323+n2n， 则2An=122+223+324+n2n+1， -An=2+22+23+2n-n2n+1 =-n2n+1=2n+1-n2n+1-2， An=(n-1)2n+1+2. 设Bn=1+2+3+4+n，则Bn=， Sn=An-Bn=(n-1)2n+1+2-. 12.函数f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=1. (1)求f的值; (2)数列an满意：an=f(0)+f+f+f+f(1)，求an; (3)令bn=，Tn=b+b+b，Sn=8-，试比拟Tn与Sn的大小. 解析：(1)令x=， 则有f+f=f+f=1. f=. (2)令x=，得f+f=1， 即f+f=1. an=f(0)+f+f+f+f(1)， an=f(1)+f+f+f+f(0). 两式相加，得 2an=f(0)+f(1)+f(1)+f(0)=n+1， an=，nN*. (3)bn=， 当n=1时，Tn=Sn; 当n2时， Tn=b+b+b =4 0; 当n3时，bn+1-bn0. 所以当n=3时，bn取得值，即Tn取得值，此时s=375，即该厂家获利时，销售量和广告费分别为375千克和3千元.
