《高中数学数列复习 题型归纳 解题方法整理.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学数列复习 题型归纳 解题方法整理.doc（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列一、 等差数列与等比数列1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。2.等差数列与等比数列的联系1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）；2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。3.等差与等比数列的比较等差数列等比数列定义通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d=dn+-d求和公式中项公式A= 推广：2=。推广：性质1若m+n=p+q则 若m+n=p+q，则。2若成A.P（其中）则也为A.
2、P。若成等比数列 （其中），则成等比数列。3 成等差数列。成等比数列。4 ， 4、典型例题分析【题型1】 等差数列与等比数列的联系例1 （2010陕西文16）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn.解：（）由题设知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比数列得，解得d1，d0（舍去）， 故an的通项an1+（n1）1n.()由（）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+2n=2n+1-2.小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a0且a1）.【题型2】 与
3、“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2 已知数列an的前三项与数列bn的前三项对应相同，且a12a222a32n1an8n对任意的nN*都成立，数列bn1bn是等差数列求数列an与bn的通项公式。解：a12a222a32n1an8n(nN*) 当n2时，a12a222a32n2an18(n1)(nN*) 得2n1an8，求得an24n，在中令n1，可得a18241，an24n(nN*) 由题意知b18，b24，b32，b2b14，b3b22，数列bn1bn的公差为2(4)2，bn1bn4(n1)22n6，法一（迭代法）bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)8(4)(2)(
4、2n8) n27n14(nN*)法二（累加法）即bnbn12n8，bn1bn22n10，b3b22，b2b14，b18，相加得bn8(4)(2)(2n8)8n27n14(nN*)小结与拓展：1）在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为：.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。【题型3】 中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3 （2009汕头一模）在等比数列an中，an0 (nN），公比q(0,1)，且a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，a3与as的等比中项为2。（1）求数列an的通项公式；（2）设bnlog2 an，数列bn的前
5、n项和为Sn当最大时，求n的值。解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a825，所以， + 2a3a5 +25 又ano，a3a55 又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a54而q（0,1），所以，a3a5，所以，a34，a51，a116，所以， （2）bnlog2 an5n，所以，bn1bn1，所以，bn是以4为首项，1为公差的等差数列。所以， 所以，当n8时，0，当n9时，0，n9时，0，当n8或9时，最大。小结与拓展：1）利用配方法、单调性法求数列的最值；2）等差中项与等比中项。二、 数列的前n项和1.前n项和公式Sn的定义：Sn=a1+a2+an。2.数列求和的方法（1）（
6、1）公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:；。（2）分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。（3）倒序相加法：如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。（4）裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于其中是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（
7、根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消 求和）常见裂项公式：（1）；（2）；（3）；（4）（5）常见放缩公式：.3.典型例题分析【题型1】 公式法例1 等比数列的前项和S2p，则_.解：1）当n=1时，；2）当时，。 因为数列为等比数列，所以从而等比数列为首项为1，公比为2的等比数列。故等比数列为首项为1，公比为的等比数列。小结与拓展：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比数列的数列；4）常用公式:（见知识点部分）。5）等比数列的性质：若数列为等比数列，则数列及也为等比数列，首项分别为、，公比分别为、。【题型2】 分组求和法例2 （2010年丰台期末18）数列
8、中，且点在函数的图象上.（）求数列的通项公式；（）在数列中，依次抽取第3，4，6，项，组成新数列，试求数列的通项及前项和.解：（）点在函数的图象上，。，即数列是以为首项，2为公差的等差数列，。（）依题意知：=.小结与拓展：把数列的每一项分成多个项，再把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。【题型3】 裂项相消法例3 （2010年东城二模19改编）已知数列的前项和为，设（）证明数列是等比数列；（）数列满足，求。证明：（）由于， 当时， 得 所以 又， 所以因为，且，所以所以故数列是首项为，公比为的等比数列 解：（）由（）可知，则（） 小结与拓展：裂项相
9、消法是把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。它适用于其中是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。如：1）和（其中等差）可裂项为：；2）。（根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和）4.数列求和的方法（2）（5）错位相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。如：等比数列的前n项和就是用此法推导的. （6）累加（乘）法（7）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求。（8）其它方法：归
10、纳、猜想、证明；周期数列的求和等等。5.典型例题分析【题型4】 错位相减法例4 求数列前n项的和.解：由题可知的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得（错位相减） 【题型5】 并项求和法例5 求10029929829722212解：10029929829722212(100 99)(9897)(21)5050.【题型6】 累加（乘）法及其它方法：归纳、猜想、证明；周期数列的求和等等例6 求之和.解：由于 （找通项及特征）（分组求和）6.归纳与总结以上一个8种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式
11、以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。三、 数列的通项公式1.数列的通项公式一个数列an的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式anf(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式2.通项公式的求法（1）（1）定义法与观察法（合情推理：不完全归纳法）：直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目；有的数列可以根据前几项观察出通项公式。（2）公式法：在数列an中，前n项和Sn与通项an的关系为： (数列的前n项的和为).（3）周期数列由递推式计算出前几项，寻找周期。（4）由递推式求数列通项类型1
12、 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。类型2 （1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。（2）由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有， ，依次向前代入，得，这就是叠（迭）代法的基本模式。类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。3.典型例题分析【题型1】 周期数列例1 若数列满足，若，则=_。答案：。小结与拓展：由递推式计算出前几项，寻找周期。【题型2】 递推公式为，求通项例2 已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，小结与
13、拓展：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.【题型3】 递推公式为，求通项例3 已知数列满足，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，小结与拓展：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.【题型4】 递推公式为（其中p，q均为常数，），求通项例4 在数列中，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有，对比，得，于是得，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，所以有。解法2：由已知递推式，得，上述两式相减，得，因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。小结与拓展：此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比较系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用做差法直接构造，两式相减有，所以是公比为的等比数列。也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型.4.通项公式的求法（2）
