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1、 2019年高考数学不等式真题汇编1.（2017北京）已知函数，则（A）（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数2.（2017北京）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值.解：（）曲线在点处的切线斜率为切点为，曲线在点处的切线方程为（），令，则当，可得，即有在上单调递减，可得，所以在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为；最小值为3.（2017全国卷）函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（D）ABCD4.（2017全国卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5
2、cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_5.（2017全国卷）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.解：（1）的定义域为，（i）若，则，所以在单调递减（ii）若，则由的当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增。（2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点（ii）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为当时，由于，故
3、只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，即又又，故在有一个零点。设正整数满足，则由于，因此在有一个零点综上，的取值范围为6.（2017全国卷）函数的部分图像大致为（C）7.（2017全国卷）已知函数，则（C）A.在（0,2）单调递增B.在（0,2）单调递减C.y=的图像关于直线x=1对称D.y=的图像关于点（1,0）对称8.（2017全国卷）已知函数=ex(exa)a2x（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围解：（1）函数的定义域为若，则，在单调递增若，则由得当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增若，则由得当时，；当时，；故在单调递减，在单调递增（2）若，则，所以若，则由（1）
4、得，当时，取得最小值，最小值为，从而当且仅当，即时，若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为，从而当且仅当，即时，综上，的取值范围是9.（2017全国卷）若是函数的极值点，则的极小值为（ C ）A. B. C. D.110.（2017全国卷）已知函数，且。（1）求的值；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.解：（1）的定义域为设，则等价于因为，故，而，得若，则当时，单调递减；当时，单调递增所以是的极小值点，故，综上，（2）由（1）知设，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，.因为，所以是的唯一极大值点.由得，故.由得.因为
5、是在的最大值点，由得.所以11.（2017全国卷）函数 的单调递增区间是（D）A.(-,-2) B. (-,-1) C.(1, +) D. (4, +)12.（2017全国卷）设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.解：（1）令得当时，；当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2），当时，设函数，因此在单调递减，而，故，所以当时，设函数，所以在单调递增，而，故当时，取，则，故当时，取，则综上，的取值范围是.13.（2017全国卷）已知函数有唯一零点，则（C）ABCD114.（2017全国卷）设函数则满足的的取值范围是_15.（2017全国卷）函数的部分图像大致为（D）A B
6、 C D16.（2017全国卷）已知函数有唯一零点，则=（C）ABCD117.（2017全国卷）已知函数（1）讨论的单调性；（2）当时，证明解：（1）f(x)的定义域为，若，则当时，故在单调递增若，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减。（2）由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为所以等价于，即设，则当时，；当，。所以在（0,1）单调递增，在单调递减。故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，从而当时，即18.（2017山东）已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（B）（A） （B）（C） （D）19.（2017山东）若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增
7、，则称函数具有性质.下列函数中所有具有性质的函数的序号为 . 20.（2017山东）已知函数，其中是自然对数的底数.（）求曲线在点处的切线方程；（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：（）由题意，又，所以，因此，曲线在点处的切线方程为，即 .（）由题意得 ，因为，令，则。所以在上单调递增.所以 当时，；当时，（1）当时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以 当时，取到极小值，极小值是；（2）当时，由 得 ，当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以 当时取得极大值.极大值为，当时取到极小值，极小值是 ；当时，所以 当时，函数在上单调递增，无极值；当时，所以当时
8、，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是 ；当时取得极小值，极小值是综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值是；当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是；极小值是.23.（2017山东）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且.若当 时，则 24.（2017山东）已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：（1）由题意，所以当时
9、，所以因此，曲线在点处的切线方程是，即（2）因为，所以令，则，所以在R上单调递增因为，所以当时，；当时，25.（2017天津）已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（A）（B）（C）（D）26.（2017天津）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（）求的单调区间；（）设，函数，求证：；（）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且满足.（）解：由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：x+-+所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.（）证明：由，得，.令函数，则.由（）知，当时，故当时，单调递减；当时，单调递增.因此，当
10、时，可得.令函数，则.由（）知，在上单调递增，故当时，单调递增；当时，单调递减.因此，当时，可得.所以，.（III）对于任意的正整数，且，令，函数.由（II）知，当时，在区间内有零点；当时，在区间内有零点.所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.由（I）知在上单调递增，故，于是.因为当时，故在上单调递增，所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.又因为，均为整数，所以是正整数，从而.所以.所以，只要取，就有.27.（2017天津）已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ A ）（A）（B）（C）（D）28.（2017天津）设，.已知函数，（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点
11、（）处有相同的切线，（）求证：在处的导数等于0；（）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.（）解：由可得令，解得，或，由，得当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间为，单调递减区间为（）（）证明：因为，由题意知，所以，解得，所以，在处的导数等于0（）解：因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，由（）知.另一方面，由于，故，由（）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，。令，所以，令，解得（舍去），或.因为，因此的值域为.所以，的取值范围是.29.（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是 30.（2017江苏）
12、设是定义在R 且周期为1的函数，在区间0,1）上，其中集合，则方程的解的个数是 831.（2017江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1） 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2） 证明：；（3） 若，这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围。解：（1）由，得当时，有极小值，因为的极值点是的零点，所以，又，故因为有极值，故有实根，从而，即当时，故在上是增函数，没有极值；当，有两个相异的实根列表如下：+0-0+极大值极小值故的极值点是，从而因此，定义域为（2）由（1）知，设，则当时，从而在上单调递增因为，所以，故，即因此（3）由（1）知，的极值点是，且从而记所有极值之和为，因为的极值为，所以因为，于是在上单调递减因为，于是，故因此的取值范围为32.（2017江苏）若函数在区间0,1上的最大值是M，最小值是m，则M m（B）A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关33.（2017江苏）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（D）34.（2017江苏）已知R，函数在区间1,4上的最大值是5，则的取值范围是_. 35.（20
