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1、高考数学正方体创新型及能力型题81例 正方体是常见的也是重要的几何体，正方体有6个表面、8个顶点、12条棱、12条面对角线、4条体对角线、6个对角面；正方体既有外接球又有内切球；在正方体内可构造出别的多面体以正方体为为载体，可考查各种线线、线面、面面关系以及面积、体积等，因此这类问题是高考命题的一个热点，本资料从高考试卷及高考模拟试卷中精选此类问题中的创新型及能力型能力试题81例，供高三学生备考及数学教师备课时参考一、选择题1.正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为（ C ）A2 B3 C 4 D52.与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点（ D ）来源:学+科+网（A）有且只
2、有1个 （B）有且只有2个（C）有且只有3个 （D）有无数个3.在正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1成600角的面对角线的条数是（ C ）（A）4条 （B）6条 （C）8条 （D）10条4.在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（ B ）A、2个 B、4个 C、6个 D、85.设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是（ C）A0 B2 C4 D66.正方体的棱中点分别为E，F，则与直线都相交的直线有（ D ）（A）有且只有1条 （B）有且只有2条（C）有且只有3条 （D
3、）有无数条ABCDA1B1C1D1EF7.如图，正方体中，分别为棱，的中点，在平面内且与平面平行的直线（ A ）（A）有无数条 （B）有2条（C）有1条 （D）不存在（8）在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足与所成的角为的点的个数为（ B ） （A）0 （B）3 （C）4 （D）69.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ B ）A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种10.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ C ）A56B52C48D40 11.在正方体ABCD-ABCD中12条棱中能组成异面直线的总对数是（ B ）
4、A.48对 B.24对C.12对 D.6对12.将正方体各顶点标上字母, 使其成为正方体, 不同的标字母方式共有（ B ）A24种B48种C72种D144种13.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ C ） A B C D14.以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ D ）来源:学科网A B C D15.正方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取两点连成直线，在这些直线中任取一条，它与BD1 垂直的概率为（ D ） A B C D16.一个各面都涂满红色的444（长、宽
5、、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（ ）ABCD17.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ C ）ABCD18.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( D ) A. B. C. D. 19.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1被以A为球心，AB为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ A ） A B C D20.图中都是由边长为1的正方体叠成的
6、图形，例如第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位，以此规律，则第（5）个图形的表面积是（D ）个平方单位。A 、30 B、20 C、40 D、9021.如图，棱长为1的正方体中，E、G分别为棱C1D1、BB1的中点，点F是正方形 AA1D1D的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内的射影所构成的图形的面积中的最大值为(B ) A B C D122.正方体中，P在侧面及其边界上运动，且总保持，则动点P的轨迹是 A、线段 B、圆 C，椭圆 D、双曲线解析： 因为，所以； 同理故故P在线段时，总有，选A23.正方体A
7、C中，E、F分别是BB、BC的中点，点P在AEF确定的平面内，且P点到A点和平面BCCB的距离相等，则P点轨迹是（ C）A直线B抛物线 椭圆D双曲线24.正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是AA. 两个点 B. 直线 C. 圆 D. 椭圆25.在正方体中，P是侧面内一动点，若P到直线BC与直线的距离相等，则动点P的轨迹所在曲线是A、线段 B、圆 C，抛物线 D、双曲线解析：， 就是点P到直线的距离 即点P到定点的距离与到定直线BC的距离相等 则点P轨迹所在曲线是抛物线26.正方体中
8、的棱长为，M在棱AB上，且，点P是平面ABCD上的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为，则点P的轨迹是A、线段 B、椭圆 C，抛物线 D、双曲线MABCDEFP解析：过P作，过F作，连结EP，则PE就是点P到直线的距离，在中 又因为由上两式子得，则点P到直线AD的距离等于定点M的距离相等 所以点的轨迹是双曲线，选DABDNNMPGFCE27.正方体中，E、F分别是棱上的动点，且为EF的中点，则点P的轨迹是A、线段 B、抛物线 C，椭圆 D、双曲线解析：连结，取的中点M，连EM并延长交AB于G，连结GF，易得，故 又M为EG中点，P为EF中点，故连结，取中点N同理可证，所以M、P
9、、N三点共线所点P的为线段MN，选A28如下面左图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面内有一动点到与的距离之比为2，则动点所在的曲线为（ ） AAAABBBA1A1A1A1B1B1B1B1BBCB1A1C1D1AD A B C D解析：点到与的距离之比为2，即P到定直线是到定点的距离二倍，轨迹所在的曲线是椭圆，离心率为。直线是准线，B是焦点，直线是对称轴，AB中点满足条件，的三等分点满足条件。答案：D29.如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图象大致是（ B ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO 30. 如图所示，
10、在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（C ） 31.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F/平面A1BE，则B1F与平面CDD1C1所成角的正切值构成的集合是（ ）ABCD32.已知正方体的棱长为2, 长 为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点 在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为（D） A B C D33.已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（A ）A、 B、 C、 D、34.如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,
11、、是展开图上的三点, 则正方体盒子中,的值为 C A B C D35.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（ B ） B C D36.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为B （B） （C） （D） 37.一只蚂蚁从正方体的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是CA B C D38.如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ C ）39.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、K、L分别为AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、D
