一元函数微分学.doc

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1、第三章 一元函数微分学（1，2） 陈建军 主编第一节 导数的概念（1、2）教学目的：掌握导数的概念，会用导数的定义求函数的导数，会用导数描述一些实际问题的变化率。教学重点、难点：导数概念，会用导数的定义求函数的导数，用导数描述一些实际问题的变化率。教学形式：多媒体教室里的讲授教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、引入新课微分学是微积分的重要组成部分,它的基本概念是导数与微分。在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲

2、线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结为函数的变化率。二、新授课1导数概念实例 （1）、变速直线运动的瞬时速度问题 设动点作变速直线运动，其经过的路程是时间的函数，即，求它在时刻的瞬时速度。 如右图所示，假定在某一瞬时,动点的位置是，而经过极短的时间间隔后,即在瞬时,动点的位置到达，于是动点在时间间隔内所走过的路程是：，动点在这段时间内的平均速度为 由于时间间隔较短，它可以大致说明动点在时刻的速度，且时间间隔取得越小，这段时间内的平均速度愈接近时刻瞬时速度。若令趋于零，则极限值 精确地反映了动点在时刻的瞬时速度 。 （2）、切线问题割线的极限位置切线位置（附：Flash说明）如图，如果割线M

3、N绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。 极限位置即 设。割线MN的斜率为 ，切线MT的斜率为 。 2导数的定义 上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的 极限： 其中是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。定义：设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在取得增量时，相应地函数取得的增量。若极限存在，则函数在点处可导，并称此极限值为函数在点的导数，记为：即 其他形式； 。 关于导数的说明： 点导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。 如果函数在开区间内的每点处都可导，就称函数在开区间内可导

4、。 对于任意都对应着一个确定的导数值。这个函数叫做原来函数的导函数记作，或。 即 或。注意：1）.。 2）.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数。 3由定义求导数 步骤：(1)求增量； (2)算比值； (3)求极值。 根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用的语句计算，步骤如下:1 定义函数2 根据定义求导例1 设圆的面积为,半径为,求面积关于半径的变化率。解（1）: 1 面积关于半径函数关系为 ；2 圆半径的增量，则圆面积的增量为；3 圆面积的平均变化率为；4 面积对半径的变化率为解（2）:用求解例2 求函数(C为常数)的导数。 解（1）：。即。解（2）用求解课堂练习 P45 第

5、5题例3根据导数的定义求的导数，其中为正整数 。解（1）：由二项式定理，得于是 即,解（2）：利用的语句计算的导数。 因此 . 一般地，对幂函数，有利用这一公式，可以求出幂函数的导数。例如，当时，的导数为 ,即 . 当时 ，的导数为 ,即 课堂练习 P45 第6（1）、（3）、（5）题利用导数的定义还能够比较容易地求出 ：三、本节小结：导数定义，和几个常见的导数公式四、课外作业：P45习题31 第3题3将一个物体铅直上抛，经过时间（单位：）后，物体上升高度为（单位：），求下列各值： （1）物体在到这段时间内的平均速度； （2）物体在时的瞬时速度； （3）物体在到这段时间内的平均速度； （4）物

6、体在时的瞬时速度；第4题4设，试按导数定义求。第三章 一元函数微分学（3,4）第一节 导数的概念（3,4）教学目的：掌握可导与连续关系，求导举例教学重点、难点：几何意义、可导与连续关系教学形式：多媒体教室里的讲授教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、回顾上次课内容1各种增量比值（变化率）模型：2导数的定义：3传统方式求函数的导数：4用的语句求函数的导数：5一些已经求出来的基本函数的导数公式。二、新授课1左导数与右导数定义2： 由于导数为，则和分别称为函数在点处的左导数与右导数，分别记为 。2可导与连续的关系 定理一 函数在点处可导的充分必要条件是在点处的左导数与右导数都存在且相等

7、。证明 略。1、 函数连续，若则称点为函数的角点，函数在角点不可导。 .例题1 判断函数 , 在点处是否可导 ( 如右图 ) 。解 由于，所以 因为左、右极限不等，故极限 不存在，即函数在点处不可导。从几何直观上看，它的图像在点处没有切线。再例如， 在处不可导，为的角点。 定理二凡可导函数都是连续函数。 证设函数在的点处可导， 函数在点连续。 注意：该定理的逆定理不成立，即若函数在点处连续，在点处未必可导，即连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。 连续函数不存在导数举例 2、设函数在点连续，但，称函数在点有无穷导数。(不可导)例如， ，在处不可导。 3、设函数在连续点的左右导数都不存在(指

8、摆动不定)，则点不可导。例如， 在处不可导。 4、若，且在点的两个单侧导数符号相反，则称点为函数的尖点(不可导点)。 例2讨论函数，在处的连续性和可导性。 解是有界函数，。 在处连续。 但在处有， 当时，在-1和1之间振荡而极限不存在， 在处不可导。 证明 略。3导数的几何意义 1、几何意义 表示曲线在点处的切线的斜率，即，(为倾角) 切线方程为； 法线方程为.例3求等边双曲线在点处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。 解由导数的几何意义，得切线斜率为 所求切线方程为，即。法线方程为，即。 三、本节小结：连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件1、导数的实质：增量比的极限； 2、

9、； 3、导数的几何意义：切线的斜率； 4、函数可导一定连续，但连续不一定可导； 5、求导数最基本的方法：由定义求导数。 6、判断可导性 外独立完成的作业：推导一遍基本初等函数的导数公式。第三章 一元函数微分学(5,6）第二节 导数的运算（1、2）教学目的：掌握导数的运算法则和基本公式。教学重点、难点：可导函数四则运算的导数法则。教学形式：多媒体演示、讲授法教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程一、 引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式 基本初等函数与初等函数的关系。二、新授课1、可导函数的和、差、积、商的求导法则定理三 设函数在点处可导，则函数在点处可导，且有

10、：（1）若，则，为常数；（2）若，则，推广：；（3）若，则。证明（1）： 对于自变量，取得其改变量，从而函数取得改变量证(3)设， 在处可导。 推论 (1)； (2)； (3).例1 求的导数。课堂练习一： （1）设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为 ；例2 求的导数。课堂练习二： （2）设函数，则 ； 例3求的导数。 解 即 同理可得 例4求的导数。 解同理可得课堂练习三：（3）设 ，则 ；三、本节小结：1、可导函数的和、差、积、商的求导法则定理三 设函数在点处可导，则函数在点处可导，且有：（1）若，则，为常数；（2）若，则，推广：；（3）若，则2、基本初等函数的导数四、课外作业：P50第

11、2题（1）、（2）、（3）第三章 一元函数微分学(7,8）第二节 导数的运算（3、4）教学目的：掌握导数的基本公式，用Mathematica软件求函数的导数，会求反函数的导数。教学重点、难点：会用Mathematica软件求函数的导数，会求反函数的导数。教学形式：多媒体演示、讲授法教学时间：90分钟教学年级：各专业一年级教学过程二、 引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式 经过求导法则所得到的基本初等函数的导数：二、新授课1、利用求导数在求函数导数的过程中，会遇到大量的运算，需要特别仔细。但是，求函数导数的步骤却是有规律的，特别符合计算机运算的要求。利用求导数的格式为 函数表达式，求导变量 例 利用 求解前面的基本初等函数的导数。注：Loga=lna.