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1、例2交通路口红绿灯的模型问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果红灯亮15秒，最多可以有多少汽车通过这个交叉路口？这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车辆左右转弯的规则，不同的国家都是不一样，通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的数量以及它们的行驶的速度和方向。这里我们在一定的假设下把这个问题简化。假设：(1) 十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞；(2) 所有的车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且只考虑马路一侧或单行线上的车辆；(3) 所有的车辆都相同，并且都是从静止状态匀加速启动；(4) 红灯时等待的每相邻两辆车之间的距离相等；(5) 前一辆车启动后
2、，下一辆车启动的延迟时间相等。用X轴表示车辆行驶的道路，原点O表示交通灯的位置，X轴的正方向时汽车行驶方向，汽车的车头在道路上所处的位置表示汽车的位置，以绿灯开始亮时为时刻t=0.根据前面的假设,我们令L表示汽车的长度,D表示红灯时等待的相邻两辆车之间的距离,T表示相邻两辆汽车启动的延迟时间,a表示汽车的加速度我们用S(t)时刻t第n辆汽车n所在的位置，用t表示第n辆汽车开始启动的时间.n汽车启动之前停车位置的模型为：S(0)，-(n-1)(LD)n汽车启动的时间模型为：(n-1)T汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动，汽车启动后在时刻t(tt)，的位置为：nS(t)，S(0)+a(t-1)2
3、/2nnn综合上面的分析，我们就得到了汽车在道路上行驶的模型为S(o),0ttS(t)，nnns(0)a(tt)2/2,ttnnn生活常识告诉我们，在城市的道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，不允许无限制的提高车速。我们给定这条路上的最高限速为v米/秒。这样我们还需要附加一个假设;*绿灯亮后汽车将匀加速启动一直到可能的最高限速，并以这个速度匀速的向前行驶。这时汽车作匀加速运动的时间应该是t*t，v/a其中t*是第n辆汽车到达限速的时间。nn*n由上面的分析可以得到，绿灯亮后汽车穿过十字路口行驶的模型是S(0),0ttnnS(t)=，S(0)+a(tt)2/2ttt*nnnnnS(0)+a(
4、tt)2/2+v*(tt*),t*t,nnnn关于模型的参数值，我们取L=5米，D=2米，T=1秒。如果在这个十字路口汽车的最高速度是40千米/时，它折合=11.1米/秒。进一步需要估计加速度。这时可以算出加速度应为2.6米/秒，保守一些取汽车的加速度为a=2米/秒。则由秒根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如下绿灯亮至15秒时汽车的位置汽车序号123456789位置/m135.7117.699.581.463.345.527.19.0-9.1从表可见,当绿灯亮至15秒时,第八辆汽车已经驶过红绿灯9米.而第九辆车还距离灯9.1米不能通过.因此15秒的绿灯可以通过8辆汽车。
