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1、竞赛中著名不等式汇集作者 阿道夫 （配以典型的例题） 2023.2.28在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构、严谨的解法、恢弘的气势、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。1. 平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西许瓦兹不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）3. 排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 具有绝对值的不等式8. 舒尔不等式9. 一些几何不等式 佩多不等式外森比克不等式 三角形内角的
2、嵌入不等式10. 内斯比特不等式11 Holder不等式. 12. 闵可夫斯基（）不等式1. 平均不等式（均值不等式）设是个正数，令 （调和平均值）， （几何平均值）， （算术平均值），（平方平均值），则有 （）(调和平均几何平均不等式) ； （）(几何平均算术平均不等式) ； （）（算术平均平方平均不等式） .这些不等式又统称为均值不等式.等号成立的充要条件是.（） (1) ,由3的推论2知（1）式成立，故（）成立.等号成立的充要条件是，即. （） (2) ,所以由3的推论2知（2）成立，故（）成立.显然等号成立的充要条件是.（） 令，再令 ，则. =0 , .等号成立的充要条件是，即.另：
3、G,Q证明还可以借助2维形式加以证明练习：1）.设 的最小值为 . 2）. 设A、B、C、D为空间中的四点，求证： 证明：如图，取BD的中点E，连结AE和EC，则在ABD和BCD中，根据中线的性质，有 3）. （2023年日本数学奥林匹克）若正实数满足，求证. 证 ， 由均值不等式，得 ， .同理可得 将上述3个不等式相加，得 .4）.（2023年中国香港数学集训队试题）证明对于任意正实数均有解： 上述3个式子相加，得 ，所以 2. 柯西不等式（柯西许瓦兹不等式或柯西布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数 ， ， ； ， ， ，有 ，其中档号当且仅当 时成立。柯西不等式经常用到的几个特例（下面出
4、现的 ， ； ， 都表达实数）是：（1） ， ，则 （2） （3） 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们学习中应给予极大的重视。关键在于使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达成使用柯西不等式证明有关的不等式。练习：1）. 设、为正数且各不相等。求证： 又、各不相等，故等号不能成立 原不等式成立。 巧拆常数 、为非负数，+=1，求证：。 （+=1） 重新安排某些项的顺序若，求证： 结构的改变从而达成使用柯西不等式 已知求证： 添项2）.设已知是实数，满足 试拟定的最大值. 证 由算术平方平均不等式得：，从而有 ， ，解之得 .当时，因此的最大值为.
5、3）. 试拟定 的所有实数解.解：由 取“=”号. 所以，原方程组有唯一实数解 4）. 3. 排序不等式设，是的一个全排列，则有 （倒序和） （乱序和） ， （顺序和）等号全成立的充要条件是或.证： 我们先用数学归纳法证明. （1） 当时，由于 ，所以 时，（1）式成立。假设对于时（1）式成立，即，其中是1,2,的一个排列，那么对于，设是1,2，的一个全排列，则当时，由归纳假设知，= ，所以（1）式成立 当时，必存在，使得，则 ，即时（1）式成立。由归纳法原理知对于，（1）式成立.再证 .事实上，由于，由（1）知，对于1,2，的一个排列，有 ， .再证等号成立的条件，充足性是显然的.我们用反证
6、法证明必要性.若结论不成立，即在 = （2）的条件下，不全相等，也不全相等，则存在，使得 ， .不妨设 ，则有 ， ，从而有 ，所以 (3)(3)与（2）矛盾.排序不等式表白对于两组实数，其顺序积和最大，倒序积和最小，乱序积和居中，顺序积和与倒序积和相等的充要条件是这两组实数中有一组全相等。这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解。推论1 若对于 ，有 ，则 ，等号成立的条件是 .证 由对称性，不妨设 ，则 .有排序不等式，有 .等号成立的条件是或 ，即 . 推论2 若对于 ，且，则 .等号成立的充要条件是 . 证 令则，这里均为正实数，由推论1知， .等号成立的充要条件
7、是，即.练习：1）. 设是正数的一个排列，求证【思绪分析】 应注意到【略证】不妨设，由于都大于0. 所以有，又的任意一个排列，于是得到【评述】 此题比较简朴，但颇具启发意义，读者应耐心体会.变式：设是互不相同的自然数，试证【思绪分析】 应先构造两个由小到大的排序.【略解】将按由小到大的顺序排成其中是1，2，n的一个排列，则于是由排序不等式，得2）. 设非负实数满足，求的最小值. 证 由对称性，不妨设，则 由不等式？知，.等号成立的充要条件是即时等号成立，所以的最小值为.3).，求证略解:由于不等式关于、对称，可设于是.由排序不等式，得（乱序和）.及以上两个同向不等式相加再除以2，即得原式中第一
8、个不等式.再考虑数组，仿上可证第二个不等式，请读者自己完毕.4). 在ABC中，角所对的边分别为。试证：解： 不妨设，于是由排序不等式，得相加，得，得 又由有得 由、得原不等式成立.【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明.5）.（第26届美国奥林匹克试题）证明对所有正数有 （1）证 由排序不等式知 ，从而有 .6）. 设正数的乘积，试证：【略解】设，这里都是正数，则原需证明的不等式化为中最多只有一个非负数.若中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若均为正数，则是某三角形的三边长.容易验证故得【评述】 运用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数、的乘积证明证明：设，且所需证明的不等
9、式可化为 ，现不妨设，则，据排序不等式得及两式相加并化简可得7）. 4. 契比雪夫不等式设则证明：由排序不等式有：将以上式子相加得:同除以,可得,得证.下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解。如图，矩形OPAQ中，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）。于是有，也即 练习：1）已知都是正数，求证： （1） 方法1 （用切比雪夫不等式）不妨设 ，则 ，由切比雪夫不等式，有 ，化简即得（1）.方法2 （用柯西不等式） .2）.5. 贝努利不等式（1）设 ，且同号，则 （2）设 ，则（）当 时，有 ；（）当 或 时，有 ，上两式当且仅当
10、时等号成立。不等式（1）的一个重要特例是 （ ）伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当n = 0,1，不等式明显成立。假设不等式对正整数n，实数时成立，那么。下面是推广到实数幂的版本：假如x 1，那么：若或，有；若，有。这不等式可以用导数比较来证明：当r = 0,1时，等式显然成立。f(x) = r(1 + x)r 1 r在上定义f(x) = (1 + x)r (1 + rx)，其中，对x微分得f(x) = r(1 + x)r 1 r， 则f(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论：1 0 r 0，f(x) 0；对 1 x 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0，故得。2 r 1，则对x 0，f(x) 0；对 1 x 0，f(x) 0，都有。练习：6. 琴生不等式设是（）内的凸函数，则对于（）内任意的几个实数有，等号当且仅当时取得。（或表述：若为上凸函数，则对任意有 ）证 应用数学归纳法，当时，由定义1命题显然成立，设时命题成立，即对任意及，都有现设及令则由数学归纳法假设可推得 =。这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式（8）成立。 练习：
