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1、微积分习题之常微分方程第八部分常微分方程第1页共16页填空题1微分方程yytanxcosx0的通解为y(xC)cosx。2过点(1,0)且知足关系式yarcsinx1yx21的曲线方程为2yarcsinxx1。23微分方程xy3y0的通解为yC1C22。x4设y(x),y(x),y(x)是线性微分方程ya(x)yb(x)yf(x)的三个特解，且123y2(x)y1(x)C，则该微分方程的通解为y3(x)y1(x)yC1(y2(x)y1(x)C2(y3(x)y1(x)y1(x)。5设y13x2,y23x2ex是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3x，则该微分方程的通解
2、为y3x2C1xC2ex。6设出微分方程y2y3yxxexexcos2x的一个特解形式y*AxBx(CxD)exex(Ecos2xFsin2x)。7微分方程y2y2yex的通解为yex(1C1cosxC2sinx)。8微分方程y4ye2x的通解为yC1e2xC21xe2x。49函数yC1cos2xC2sin2x知足的二阶线性常系数齐次微分方程为y4y0。2x10若连续函数f(x)知足关系式f(x)0选择题t2xf()dtln2，则f(x)eln2。11设曲线积分f(x)exsinydxf(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续L导数，且f(0)0，则f(x)等于(A)1(exex
3、)。(B)1(exex)。221第八部分常微分方程第2页共16页(C)1(exex)1。(D)11(exex)。22答B注：根据题意，x1xxfx)cosyfxecosy，解得f(x)eCe。由()11(ex2f(0)0，得C，所以f(x)ex)，即选项(B)正确。2212若函数ycos2x是微分方程yp(x)y0的一个特解，则该方程知足初始条件y(0)2的特解为(A)ycos2x2。(B)ycos2x1。(C)y2cosx。(D)y2cos2x。答D注：根据解的构造，通解为yCcos2x，由y(0)2得C2。应选项(D)正确。其他选项经考证不知足方程或定解条件。13设函数y(x),y2(x)
4、是微分方程yp(x)y0的两个不同特解，则该方程的通解为1(A)yC1y1C2y2。(B)yy1Cy2。(C)yy1C(y1y2)。(D)yC(y2y1)。答D注：因为y1(x),y2(x)是微分方程yp(x)y0的两个不同特解，所以y2y1是该方程的一个非零特解。根据解的构造，其通解为yC(y2y1)，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个随意常数，故其不对。当y20时，选项(B)不对。当y2y1时，选项(C)不对。14已知函数yy(x)在随意点x处的增量yyxo(x),y(0)，则y(1)等于1x2(A)2。(B)。(C)e4。(D)e4。答D2第八部分常微分方程第3页共1
5、6页注：根据微分定义及微分与导数的关系得yy1x2，解得lnyarctanxC，由y(0)，得Cln，所以y(1)earctan1e4。因此选项(D)正确。15设函数yf(x)是微分方程y2y4y0的一个解。若f(x0)0,f(x0)0，则函数f(x)在点x0(A)取到极大值。(B)取到极小值。(C)某个邻域内单一增加。(D)某个邻域内单一减少。答A注：因为f(x0)0，f(x0)4f(x0)0，所以选项(A)正确。16.设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程ypyqy0的两个特解，C1,C2是两个任意常数，则下列命题中正确的选项是（A）C1y1C2y2一定是微分方程的通解。（B）CyC2y2不
6、可能是微分方程的通解。11（C）C1y1C2y2是微分方程的解。（D）CyC2y2不是微分方程的解。11答C注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当y1,y2线性有关时，选项（A）错误,当y1,y2线性无关时，选项（B）错误。17.微分方程yyex1的一个特解应具有形式(A)aexb。(B)axexb。(C)aexbx。(D)axexbx。答B注：相应齐次方程的特点根为1,1，所以yyex的一个特解形式为axex，3第八部分常微分方程第4页共16页yy1的一个特解形式为b。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为axexb，即选项(B)正确。其他选项经查验不知足方程。18.具有特解y1
7、ex,y22xex,y33ex的三阶线性常系数齐次微分方程是(A)yyyy0。(B)yyyy0。(C)y6y11y6y0。(D)y2yy2y0。答B注：根据题意，1,1是特点方程的两个根，且1是重根，所以特点方程为(1)(1)23210。故所求微分方程为yyyy0，即选项(B)正确。19.设y1ex,y2x是三阶线性常系数齐次微分方程yaybycy0的两个特解，则a,b,c的值为(A)a1,b1,c0。(B)a1,b1,c0。(C)a1,b0,c0。(D)a1,b0,c0。答C注：根据题意，1,0是特点方程的两个根，且0是重根，所以特点方程为(1)2320。故原微分方程应为yy0，所以a1,b
8、0,c0即选项(C)正确。20.设二阶线性常系数齐次微分方程ybyy0的每一个解y(x)都在区间(0,)上有界，则实数b的取值范围是(A)b0。(B)b0。(C)b4。(D)b4。答A注：因为当b2时，y(x)bb24xbb24x240Ce2Ce2，所以，当b12时，要想使y(x)在区间(0,)上有界，只要要bb240,bb240，即4第八部分常微分方程第5页共16页b2。当b240时，要想使y(x)在区间(0,)上有界，只要要bb24与bb24的实部大于等于零，即0b2。当b2时，y(x)CexCxex在区12间(0,)上有界。当b2时，y(x)C1exC2xex(C12C220)在区间(0,)上无界。综上所述，当且仅当b0时，方程ybyy0的每一个解y(x)都在区间(0,)上有界，即选项(A)正确。解答题21求微分方程x1y2yy1x20的通解。解：方程两头同乘以dx，得y2x211xdxydy1x20，1y2
