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1、12999数学网 2、 如图；某人在公路上由A到B向东行走，在A处测得公路旁的建筑物C在北偏东60方向。到达B处后，又测得建筑物C在北偏东45方向。继续前进，若此人在行走过程中离建筑物C的最近距离是（25+25）米，求AB之间的距离。3、 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。探究：设A，P两点间的距离为x。（1） 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2） 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域
2、；（3） 当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。（图1，图2，图3的形状，大小相同，图1供操作实验用，图2和图3备用）A D A D A D B C B C B C十初中几何综合复习首先，在最近几年的中考中题折叠问题中频频出现，这对于我们识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求。希望通过今天的讨论，使同学们对折叠问题中有关的几何图形之间的位置关系和数量关系有进一步认识；在问题分析和解决的过程中巩固头脑中已有的有关几何图形的性质以及解决有
3、关问题的方法；并在观察图形和探索解决问题的方法的过程中提高分析问题和解决问题的能力。那么，什么是折叠问题呢？这个问题应分两个方面，首先什么是折叠，其次是和折叠有关的问题。下面我们将对它们分别进行讨论一. 折叠的意义ABDB图2CBAOBl图11折叠，就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180，使它与另一部分在这条直线的同旁，与其重叠或不重叠；显然，“折”是过程，“叠”是结果。C如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形，其中OB是OB在折叠前的位置；图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线AC折叠后的图形，ABC是ABC在折叠前的位置，它们的重叠部分是三角形；(2)图形在折叠前和折叠后翻折部分的形状
4、、大小不变，是全等形如图如图（1）中OB=OB；如 图（2），ABCABC；(3) 图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称 如图（1）OB和OB关于直线l成轴对称；如图（2）ABC和ABC关于直线AC成轴对称。二和折叠有关的问题图形经过折叠，其翻折的部分折叠前的图形组合成新的图形，新的图形中有关的线段和角的位置、数量都有哪些具体的关系呢？这就是我们今天要重点讨论的问题。下面，我们以矩形的折叠为例，一同来探讨这个问题。问题1:将宽度为a的长方形纸片折叠成如图所示的形状，观察图中被覆盖的部分AEF.FEA a123FEA aPQ（a）AEF是什么三角形？结论： 三角形 A EF是等腰
5、三角形证明：方法一，图形在折叠前和折叠后是全等的, 1= 2,又矩形的对边是平行的，1= 3, 2= 3, AE= AF三角形 A EF是等腰三角形AE F方法二：图形在折叠前和折叠后的形状、大小不变，只是位置不同表示矩形宽度的线段EP和FQ相等，即 AEF的边 AE和 AF上的高相等， AE= AF三角形 A EF是等腰三角形(b)改变折叠的角度的大小，三角形AEF的面积是否会改变？为什么?答：不会改变。分析：的改变影响了AE的长度，但却不能改变边AE上的高，三角形AEF的面积会随着 的确定而确定.FEAA例一：在上面的图中，标出点A在折叠前对应的位置A,四边形AEAF是什么四边形？分析：（
6、1）由前面的分析可知A与A在折叠前的位置A关于折痕EF成轴对称,所以作A关于EF的对称点即可找到点A（过点A作AA EF交矩形的边于点A）。同学们还可以动手折叠一下，用作记号的方法找到点A。（2）四边形AEAF是菱形证法一： A是A在折叠前对应的位置, A和A关于直线EF轴对称 , AAEF,且AO=AO,又AEAF,EOOF=AOOA, EAFEO=OF四边形AEAF是菱形证法二：A是A在折叠前对应的位置,AEFAEF ,AE=AE,AF=AF，又AEF是等腰三角形（已证）,AE=AF,AE=AF=AE=AF, 四边形AEAF是菱形. 例2.在上题的图中,若翻折的角度=30,a=2, 求图中
7、被覆盖的部分AEF.的面积.。分析：图中被覆盖的部分AEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出腰AF或AE的长。答：S四边形AEAF2SAEF= （解答过程略）练一练：当的大小分别45 、60时，图中被覆盖的部分AEF.的面积是多少？=45=60PF例题3. 如图：将矩形ABCD对折，折痕为MN，再沿AE折叠，把B点叠在MN上，（如图中1的点P）,若AB=3,则折痕AE的长为多少？分析：折痕AE为直角三角形ABE的斜边，故解决本题的关键是求PE(或BE)的长。解法一：由折叠的意义可知，APEP,延长EP交AD于F, 则FE=FA(在问题一中已证) M、N分
8、别是矩形的边AB和CD的中点，MNADBC且EPPF=BNNA=11,又APE= D=90, AE=AFAE=AF=EF, 1= 2=30,1=30AE=2。解法二： M、N分别是矩形的边AB和CD的中点， MNAD BC且AN是AP的一半 MNANAE=AF又FE=FA(问题1的结论)AE=AF=EF, 1= 2=30,1=30FPAE=2。解法三：由BC/MN/DA且M、N分别为CD和AB的中点可得EP=PF，EO=AOPO=AF，又PO=AE，AE=AFAE=AF=EF，EAF=60（其余同上）例题4.在例3中，若M、N分别为CD、AB的 三等分点（如图），AB=5,其他条件不变，折痕A
9、E的长为多少？分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的二等分线变为三等分线，其他条件不变。所以本题的解题关键还是求出EB(或EP)的长解：延长EP交AD于F, 则FE=FA(已证) M、N分别是矩形的边AB和CD的三等分点MNADBCFP且EPPF=BNNA=12,设EP=x, 则PF=2x, AF=EF=3x,在直角三角形APF中有AP+PF=AF5+(2x)=(3x), x=1, AE=1+5=6,AE=例4 如图3,有一张边长为3的正方形纸片(ABCD),将其对折,折痕为MN,再将点B折至折痕MN上,落在P点的位置,折痕为AE.(1)求MP的长;(2)求以PE为边长的正方形的面积.分析：
10、将本题与例题2比较，不难看出它们的共同之处，显然，解决本题的关键是求PE和PN的长解法一：延长EP交AD的延长线于F, 则FE=FA(已证)M、N分别是矩形的边AB和CD的中点， MNAD BC且AN是AP的一半 MNANAE=AFAE=AF=EF, 1= 2=30,1=30PN=，(1)MP=1-PN=3-,又AP=3, EP=，(2)以EP为边长的正方形的面积为3。其他解法请同学们思考。例5.如图，将矩形ABCD折叠，使C点落在边AB上，（如图中的M点），若AB=10,BC=6,求四边形CNMD的面积 分析：本题与上一题区别在于点C折叠后落在矩形的边AB上，由折叠的意义可以知道，ACN和A
11、MN是全等的，所以，求四边形CNMD的面积的关键就是求DCN或DMN的面积，所以本题的解题关键还是求出NC(或BN)的长.解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2.设NC=x,则MN=x,BN=6-x,在RtBMN中，MN2=BN2+BM2x2=（6-x）2+4x=S四边形CNMD=2SDCN=例6.将长为8，宽为6的矩形ABCD折叠，使B、D重合，（1）求折痕EF的长。（2）求三角形DEF的面积分析：由矩形折叠的意义可知，EF垂直平分BD（O为BD的中点由AB/DC可得EO:FO=BO:DO=1:1 O为EF的中点，所以可设法先求出
12、EO的长，或直接求EF的长,进而求三角形DEF面积。EFOP解（法一）：D、B关于EF成轴对称EF垂直平分DB，又DCCB,DOEDCB在RtDCB中，由勾股定理可得BD=10又AB/DCEO:OF=DO:OBDO=5(1)由DOEDCB得DO:DC=DE:BCEO:6=5:8EO=EF=(2)SDEF=EFDO=5=解（法二）：(1)过C作CP/EF，交AB于PEFDBCPDB易得CBPDCBCP:BD=CB:DCEF=(2)SDEF=EFDO=5=同学们，图形折叠问题中题型的变化比较多，但是经过研究之后不难发现其中的规律，从今天我们对矩形折叠情况的讨论中可以得到以下几点经验：1图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3.将长方形纸片折叠成如图所示的形状，图中重叠的部分A EF是等腰三角形；4解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而 进一步发现其中的数量关系；5充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。今天的讨论就到这里,最后祝同学们在中考中取得好的成绩.FEA a12999数学网
