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1、第二十一讲 分类与讨论分类在数学中是常见的，让我们先从一个简单的例子开始有四张卡片，它们上面各写有一个数字：1，9，9，8从中取出若干张按任意次序排列起来得到一个数，这样的数中有多少个是质数？因为按要求所得的数可能是一位数、二位数、三位数和四位数，我们分别给予讨论任取一张卡片，只能得3个数：1，8，9，其中没有质数；任取二张卡片，可得7个数：18，19，81，89，91，98，99，其中19，89两个是质数；任取三张卡片，可得12个数：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899，989，998，其中199，919，991三个数是质数；取四张，所得的任一个四位
2、数的数字和是27，因而是3的倍数，不是质数综上所述，质数共有23=5个上面的解题方法称为分类讨论法当我们要解决一个比较复杂的问题时，经常把所要讨论的对象分成若干类，然后逐类讨论，得出结论分类讨论法是一种很重要的数学方法在分类中须注意题中所含的对象都必须在而且只在所分的一类中分类讨论一般分为三个步骤，首先确定分类对象，即对谁实施分类第二是对对象实施分类，即分哪几类，这里要特别注意，每次分类要按照同一标准，并做到不重复、不遗漏，有些复杂的问题，还要逐级分类最后对讨论的结果进行综合，得出结论例1 求方程x2-2x-1-4=0的实根x2+2x-1-4=0，x2-2x1-4=0，x13，x2=-1说明
3、在去绝对值时，常常要分类讨论例2 解方程x2-x=2，其中x是不超过x的最大整数解 由x的定义，可得xx=x2-2，所以 x2-x-20，解此不等式得-1x2现把x的取值范围分成4个小区间(分类)来进行求解(1)当-1x0时，原方程为x2-(-1)=2，所以x=-1(因x=1不满足-1x0)(2)当0x1时，原方程为x2=2(3)当1x2时，原方程为x2-1=2，所以(4)当x=2时，满足原方程例3 a是实数，解方程xx+1+a=0分析 方程中既含有绝对值，又含有参数a，若以平方化去绝对值的话，则引入了高次方程，把问题更加复杂化了对这种问题，宜讨论x的取值范围来求解解 (1)当x-1时，原方程
4、变形为x2x-a=0当=14a0(且a=-x1x0)，即a0时，的解为(2)当x-1时，原方程为x2xa=0又x-1，即综上所述，可得：当a0时，原方程的解为例5 已知三角形中两角之和为n，最大角比最小角大24，求n的取值范围解 设三角形的三个角度数分别是，且有 由题设-=24(1)若+=n，则=180-n，=-24156-n，n-2n-156所以156-n2n-156180-n，所以 104n112(2)若=n，则=180-n，于是所以所以 112n128(3)若=n，则=180-n，=+24=204-n，=n-=2n-204于是180- n2n-204204-n，所以 128n136综上所
5、述，n的取值范围是104n136例6 证明：若p是大于5的质数，则p2-1是24的倍数分析 关于整数的问题，我们常把它分成奇数和偶数(即按模2分类)来讨论，有时也把整数按模3分成三类：3k，3k1，3k2一般地，可根据问题的需要，把整数按模n来分类本题我们按模6来分类证 把正整数按模6分类，可分成6类：6k，6k+1，6k2，6k3，6k4，6k5因p是大于5的质数，故p只能属于6k+1，6k+5这两类当p=6k1时，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)因k，3k1中必有一个偶数，此时24p2-1当p=6k5时，p2-1=36k260k24 12k212k =12k(k1)0(mod
6、 24)所以，P2-1是24的倍数例7 证明A=x-y+x+y-2z+x-y+x+y+2z 4maxx，y，z，其中maxx，y，z表示x，y，z这三个数中的最大者分析 欲证的等式中含有三个绝对值符号，且其中一个在另一个内，要把绝对值去掉似乎较为困难，但等式的另一边对我们有所提示，如果x为x，y，z中的最大者，即证A=4x，依次再考虑y，z是它们中的最大值便可证得证 (1)当xy，xz时，A=x-y+x+y-2zx-y+x+y+2z =2x-2z+2x+2z=4x. (2)当yz，yx时，A=y-x+x+y-2z+y-x+x+y+2z =2y-2z+2y+2z=4y(3)当zx，zy时，因为x
7、-yxy=maxx，y2z，所以A=2z-x-y-x-y+x-y+x+y+2z=4z从而 A=4maxx，y，z例8 在13的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边相应地与大矩形的一条边平行，求两个小矩形周长和的最大值解 两个小矩形的放置情况有如下几种：(2)两个小矩形都“横放”，如图2-124及图2-125所示，这时两个小矩形的周长和的最大值是2(a3a)21-a3(1-a)8(3)两个小矩形一个“横放”，一个“竖放”，如图2-126，这时两个小矩形的周长和为练习二十一1解不等式：x+1x22解关于x的不等式：a(ax-1)x-1. 3解方程：x-3-2=a4解方程：x2-2x-3=06设等腰三角形的一腰与底边分别是方程x2-bxa=0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围7x，y都是自然数，求证：x2+y+1和y24x3的值不能同时是完全平方
