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1、第02章二次函数02-1 二函图像与性质2015客观题老曾说过，本学案是一个拔高，拔到多高？当然是与中考齐平。二次函数的练习你已经做了不少，老曾现在选择一部分2015年全国各地的中考题型进行讲解。需要你注意的是，通过本节的学习，你将掌握以下方面技能： 选择题的解法 二次函数图像及其性质的判断步骤和思路 提高你的代数能力在每一道例题后面，老曾不在标“二次函数”，而是标更具体的考点，同时还标解本题的方法和思维，标本题的难度值，五星最高，一星最低，如果看到空心的“”，就是半个难度值。按照本学案的定位，基本不会出现三星以下的题目，除非这道题目有点说头。例02-01（2015广东-10题-3分）三角形面
2、积函数 动点 核心：解直角三角形特殊角如题10图，已知正ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是( )解析：四个选项的图是老曾重新画过的，清楚吧。首先，你可以把它归结为动点题目，老曾说过，凡是动点题目，首先考虑的是动点的极端情况，也就是运动到端点的情况。三个点的移动带来的角度和长度变化量是一样的，以E点为例，如果从B点出发时就是ABC，运动到A点的话与ABC重合，单不管证明运动，这个里面小三角形的面积不会出现为0的情况，所以你可以把A和C两个选项干掉。只剩下B和D两个选项了，观察一下，两个图像在关
3、键点和趋势上一样，选择哪一个？如果你具备了比较成熟的函数思想面积是长度平方的函数，即面积是某两个长度值得平方，所以通过两步判断，老曾大胆地选择D选项，30秒就干掉这道题。可惜，你现在还不是老曾，所以，最好的方法就是硬算。硬算的话，如果你学习过初三下的解直角三角形的话，会好的多，但根据八（下）的知识你也完全可以算。这里，你要算里面这个等边三角形，有EG就够了，但EG不是好求。哪我们反过来求BEF的面积，这样用大三角形面积减去三个BEF的面积就得到里面这个小等边三角形的面积。什么是解直角三角形？就是寻找或创建包含一个特殊角的直角三角形。老曾的话永远简练直白且直指要害！对于本题而言，就是作高而已。老
4、曾用了一种方法，两个选择，如右图所示。EH是最稳妥的，好看也好懂。对于BEF而言，其面积就是EH乘上BF，B是特殊角60，那么EH肯定是一个含有x的一次函数，而BF就是x，所以面积的乘积肯定是二次函数，一个二次函数乘一个非零常数，还是二次函数，再被一个常数（ABC面积）所减，还是一个二次函数，所以根据图像特征，选D。当然你恰好做了高FG，道理是一样的。如果你要把这个函数求出来，就是三星半，如果不求出来就是三星级别，显然我这里只定性不定量。例02-02（2015南宁-10题-3分）二函图像与系数的关系 如图，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线下列结论中：，当，正确的个数是（ ）.（A）0个 （B
5、）1个 （C）2个 （D）3个解析：现在的客观题压轴有三大类，第一个就是二函的图像与系数，第二个就是多边形相关线段或角的计算，第三个就综合类命题。其中最难的是第二个，建议大部分考生放弃，最好做的就是二函的图像与系数，综合类命题一般都有埋伏。对于二函的图像与系数题目，就是吧图像和已知条件中的内容完全列出来，之后再看选项正确与否。本题而言，对称轴=1，则有a=b；再看图像，函数开口向上，所以a0，则b0。好像没什么可以再看的，先看选项吧。绝对正确；看看c的取值，只能从图上看，二函过原点，说明当x=0时，y=0，则c=0，那么本选项也是正确的；0的关于对称轴的对称点是2，则在0到2之间，二函这部分图
6、像低于x轴，本选项也正确。所以选D。例02-03（2015嘉兴-10题-3分）二函图像与系数的关系 整体代数思维 因式分解 距离最短 如图，抛物线y=x2+2x+m+1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D。下列四个判断：当x0时，y0；若a=1，则b=4；抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x112，则y1 y2；点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（ ）（A） （B） （C）（D）解析：不正确，干掉；两个点应该到对称轴的距离相等，对称轴为x=1，则A点到对称
7、轴的距离为2，B点早对称轴的距离为3，所以本选项不正确；如果你盯着图看，永远看不出来，老曾说过初中数学的核心就探究，啥叫探究，就是拿着纸笔不停的做各种尝试，当然本选项的结论是比较两个y值的大小，那么我们就分别两个函数写出来，y1=x12+2x1+m+1，y2=x22+2x2+m+1，在七年级下就比较过两个无理数的大小，老师应该也讲过比大小就是两个数或者式子减就可以了，之后看看差是正还是负。y1y2=x12+2x1+m+1(x22+2x2+m+1)= x22x12(2x22x1)= (x2x1) (x2+x1) 2(x2x1)=(x2x1) (x2+x12) ，老曾还是很辛苦的，“若x112”，
8、老曾将这小问的题设搬过来了，你可以轻松得到y1y20，即y1 y2所以此选项正确；到此为止不用做了，直接选择C就可以了。 但，不符合本学案的宗旨，所以老曾还是给你按照题意做一下。你先要求的E点的坐标和D点的坐标，老曾都标在图上了。D点关于纵轴对称点为M点，E点关于横轴的对称点为N点，老曾想你轻易求出这两个点的坐标。连接MN，则MN与纵轴的交点F和与横轴的交点G即为所求四边形的两个点。什么方法，想起来了，这个方法在今年的压轴题中很常见，老曾想可能是这个方法极具数学思想转化思想，将两截甚至三截线段的长度通过对称（镜像）转换到一根直线段上来求其和的最小长度值。如果让你证明，你完全可以通过SAS（夹直
9、角）证明坐标轴两边的三角形全等，从而证明两个斜边长度一样。MN长度你会求。注意，好在本小问放在最后，如果放在前两个，你是否要算一会？本小问真要算出来的话，价值应该在5分左右，应该出现本卷压轴题的最后两问中，放在此处的确有些难！例02-04（2015南昌-6题-3分）二函图像与系数的关系 图像性质 神题！已知抛物线过（2,0），（2,3）两点，那么抛物线的对称轴( ). A只能是x=1 B可能是轴 C在轴右侧且在直线的左侧 D在轴左侧且在直线x=2的右侧解析： 先看选项A，如右图左。老曾就先将对称轴画出来，根据二次函数的对称性，则（2,0）的对称点为原点，之后你通过图像看点（2,3）很可能在图像
10、上，所以只通过图像不能否定也不能肯定这个选项。当然，你会发现图像穿过原点，这说明二次函数一般式中的c=0，那么有两了具体的两点的坐标，可以完全求出这个二次函数的解析式，当然它的对称轴也肯定是x=1，所以选项A中的后半句是正确的，但我们目前依靠图像还是无法确定“只能”的正确性。再看选项B，如上图中，对称轴（图中为虚线）同时也是y轴，你可以写出（2,0）关于y轴的对称点（2,0），而（2,3）必须在（2,0）的正上方，显然就不能在二次函数的图像上，因为这是二次函数的基本定义就是对应唯一一个y值，所以此选项不正确。选项C，如上图右中，老曾在横轴上标了三个点。此小问，老曾用特殊代替一般法。长虚线是对称
11、轴，假定其为x=0.5，如果A(2,0)存在，则B点坐标为（3,0），如果二次函数有一点横坐标为2的话，此点必在横轴下方，所以（2,3）一定不在二次函数上，所以此选项不正确。选项D，老曾没有画图，选项D中对称轴可选范围包括选项A中的x=1，所以同样确定不了。其实在考虑第一个选项后，不能通过图像进行判断，同时辅助了一些代数行为，老曾就没有往下看其他选项，作为选择题的压轴题，还是有点难度。一看不能通过图像判定，老曾马上转到代数角度。将（2,0），（2,3）分别代入得：0=4a2b+c和3=4a+2b+c。我们观察一下两个式子，如果相加可以灭掉b，如果相减可以同时灭掉a和c。这里我们讨论的是对称轴，
12、与c无关，只与a和b有关系，所以最好灭掉c，所以我们选择相减：b=，接着写对称轴为x=。因为a是正数，所以对称轴在y轴的左侧，于是我们就可以选择正确答案D了。这道题目做完了吗？没有，我们还没有解决“且在直线x=2的右侧”，老曾还得给你算出这个条件。老曾先给你写个二次函数：y=x2+x+1，我们看看这个抛物线是否过（2,0），（2,3）两点，代入即可。先代（2,0）得：(2)2+(2)+1=0；再代(2,3)得：(2)2+2+1=3，则两个点都在该抛物线上，再看这个抛物线的对称轴是：x=3，显然x=3位于x=2的左侧。图老曾给你画出来了，因为老曾实在不知道“且在直线x=2的右侧”怎么弄出来的，所
13、以头大得很，找了反例出来。南昌呀，可是比呼和浩特更大、级别更高的城市。此题为错题，坑爹呀！例02-05（2015荆州-9题-3分） 函数图像 数形结合 多边形面积 方程思想 分类讨论思想 动点 如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BCCDDA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动设P点运动时间为x（s），BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）解析：老曾讲过了，动点的题目，你先考察的是动点的范围，尤其是端点的取值情况。所以先看Q点的移动，完整地走BA线段，一个正方形的边长，
14、用时3秒；再看P点，完整走完后，走完三个正方形的边长，用时也是3秒，不错起码运动时间的起止相同。(图可是老曾重新画过，打印绝对清晰，！)从运动距离上看，当Q点运动1cm的时候，P点恰好到C点，也就是说在头1秒钟的时候，BPQ是个直角三角形，其面积是两个边长乘积的一半，而两个边长分别为QB=1x，PB=3x，则两个线段长度的函数表达式相乘是一个二次函数，所得二次函数的二次项系数为正数，所以开口向上，干掉选项A。当2QB1时（任意一个不等号都可以加半个等号），对应着就是P点在B和C之间（如果加半个等号，就包括B点和C点）向上运动，老曾还是给你画个图吧，不标字母了。实线是Q点快运动到边长中点所对应的
15、三角形，虚线是Q点快运动到QB=2的时候所对应的三角形。显然，这个三角形面积是一个变大的过程（同高，底变长），干掉选项B；C和D选项都是一次函数形态。当QB2时，则P点运动到DA边上，这个时候BPQ是什么形态？三角形的底的长度是：QB=1x，也就是说随着时间的增加，这个边长也在增加，当时间用完，正好到了A点，则三角形底边的长度最大为3；再看三角形的高，图中实线三角形要比虚线三角形时间更晚。下面你要看仔细了，有内涵。当x2秒时，即P点已经跑到AD上，这时P点跑过的路程是3x，那么P点离D点的距离则为：3x6，而P点到A点的距离则是：2(3x6)=83x，则此阶段BPQ的面积为y=3x(83x)，不用整理啦，显然还是一个二次函数，且其二次项系数为负数，所以开口向下。干掉选项D，正确选项为C。毕竟是客观题，老曾在解这道题时，盯着正方形图，想象即可，30秒出答案。例02-06（
