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1、第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，第二章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.407.707.10直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。2.1线性方程组和矩阵的定义2.1.1线性方程组n元线性方程组的一般形式为
2、 特别若，称这样的方程组为齐次方程组。称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组 【答疑编号12020102】2.1.2矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表 为mn阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。 注意:矩阵和行列式的区别。二、几类特殊的矩阵1.所
3、有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。例如都是零矩阵。2.若A的行数m=1，则称 为行矩阵，也称为n维行向量。若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。4.称n阶方阵为n阶对角阵。特别若上述对角阵中，称矩阵为数量矩阵，如果其中=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。2.2矩阵的运算 这节介绍（1）矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件；（2）矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性
4、质与数的运算性质的差别。2.2.1矩阵的相等为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。定义2.2.1如果矩阵A，的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵与B同型；若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等例如 虽然行列式有但矩阵；。2.2.2矩阵的加减法 定义2.2.2 设A与B都是mn阶矩阵(即A与B同型)，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为mn阶矩阵 例1设求A+B、A-B。【答疑编号12020103】例2则A与B不能相加(减)，或说AB无意义。 加法运算的性质设A，B，C都是mn阶矩阵，O是mn阶零矩阵，则1.
5、交换律 A+B=B+A。2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。3.负矩阵 对于任意的mn阶矩阵定义，显然A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。2.2.3数乘运算定义2.2.3 数与矩阵A的乘积记作A或A，定义为 例3 设，求3A。 【答疑编号12020104】解例4 设，求3A-2B。 【答疑编号12020105】例5 已知，求2A-3B。 【答疑编号12020106】数乘运算满足：1.1A=A2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A3.分配律 k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+lA例6 已知，且A+2X=B，求X。2.2.4矩阵的乘法先介绍矩阵乘法的定义，后面
6、再介绍为什么这样定义乘法。一、定义定义2.2.4 设矩阵，(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个mn阶矩阵，其中(i=1,2,m,j=1,2, n)可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数；其列数=B的列数。例如则A,B可以相乘，其乘积其中例7设矩阵【答疑编号12020201】问BA有意义吗？无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数，所以BA无意义。例8(1)设矩阵(2)求AB；BA【答疑编号12020202】此例说明 AB,BA虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。例9设矩阵，求AB,BA。【答疑编号12020203
7、】为什么这样定义乘法？考虑线性方程组设，则，于是线性方程组(1)就可以写成矩阵形式AX=b。这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式，使整个的讨论变得简单了。二、性质（1）乘法没有交换律，AB不一定等于BA。（2）结合律 (AB)C=A(BC) （3）分配律 (A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC （4）数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)（5）单位矩阵的作用。另一部分的证明请同学们自己作。但对于某些特殊的矩阵（方阵）满足AB=BA，我们称它们是乘法可交换的，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。例10 设矩阵，求
8、出所有与A乘积可交换的矩阵。【答疑编号12020204】2.2.5方阵的幂设A是一个矩阵，何时有意义?当且只当A为n阶方阵时，有意义。这时，对k2定义称为A的k次幂。例11 数学归纳法证明【答疑编号12020301】（2）【答疑编号12020302】对于数，幂的运算有下列性质：（1）同底幂相乘，指数相加。即；（2）；（3）对于方阵的幂有下列性质：（1）。对于数，为什么所以对于n阶方阵不一定等于。根据矩阵乘法和方阵幂的性质，数的乘法公式有下面的变化：一般不等于。一般不等于。这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。但对于某些特殊的矩阵满足AB=BA，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，所以请思考例
9、12 设求。【答疑编号12020303】例13 设，求。【答疑编号12020304】例14 设。【答疑编号12020305】小结 矩阵乘法和数的乘法性质的区别：(1)矩阵乘法没有交换律，由此引出乘法公式:如，不一定等于等公式的变化；(2)对于矩阵：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵；(3)对于方阵，可能可能，(4)不一定等于。2.2.6矩阵的转置一、定义定义2.2.5设。将其行列互换，所得的矩阵记为称它为A的转置，即显然，mn阶矩阵A的转置是nm阶。二、性质1.；2.；3.；现看下面的例例15 设，求；问哪个有意义，若有意义，求它的乘积矩阵。【答疑编号12020306】解没有意义。有意义，且所以一
10、般，则AB是mn阶的。是km阶，为nk阶，故不一定有意义。但 有意义。可以证明4.(反序律)。三、对称阵和反对称阵定义 设A为n阶实方阵。如果满足，则称A为实对称(反对称)阵。例16 为实对称阵；为反对称阵。例17 证明:任意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。【答疑编号12020307】例18证明:设A,B都是n阶对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。 【答疑编号12020308】扩展 改为 设A,B都是n阶反对称阵， 证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。 2.2.7方阵的行列式一阶方阵和一阶行列式都是数，但当n2以后，矩阵和行列式是两个不同的概念
11、，矩阵是一个数表，可以是方的也可以是长方的。对于n阶方阵，可以对它取行列式，但行列式已不仅是数表，而它的值是一个数。性质:1.；2.；3.。于是容易看出，虽然AB不一定等于BA，但。例19 证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。【答疑编号12020309】2.2.8方阵多项式任意给定多项式和一个n阶方阵A。定义称f(A)为A的方阵多项式。例20 设求f(A)。【答疑编号12020310】小结1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件)；2.各种运算的性质(特别是与数的运算性质的相同点和不同点，尤其是不同点)作业 p47 习题2.2 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，122
12、.3方阵的逆矩阵2.3.1逆矩阵的定义定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样的B不存在，则称A不可逆。定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。证 设都是A的逆矩阵。则。例1 ，验证A可逆，且。【答疑编号12020401】只要看容易看出，这时B也可逆，且。例2 不可逆。【答疑编号12020402】解 设，则。故不可逆。2.3.2n阶方阵可逆的充分必要条件为讨论n阶方阵可逆的充分必要条件，现引入方阵的伴随矩阵的概念定义 设，为的代数余子式，则称 为A的伴随矩阵，记为。下面计算类似地，有。若，有。于是有下面的定理。定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。证 充分性已经得证。只要证必要性。设n阶方阵A可逆，据定义知，存在n阶方阵B使得AB=BA=E取行列式得，故，必要性得证。推论 设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。推论的意义是，不必验证两个乘积AB，BA，而只要验证一个即可。证 因为 AB=E，故，所以。故A，B都可逆。由 AB=E 两边左(右)乘，得，于是有。2.3.3可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶可逆矩阵。常数k0。则1.可逆，且。2.AB可逆，。3. 也可逆，且。4.kA也可逆，且。
