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1、构造奇次幻方的一种方法杨富锋 南京理工大学摘要：幻方是古老的数学游戏经过几个世纪的发展形成了很多有趣的构造方法。本文利用行列式的性质和行列式的变换得到了构造奇数阶同心幻方原基的一种方法，利用排列组合对任意奇数阶幻方都能得到多种形式。关键词： 幻方 原基 通式 幻方也叫纵横图，是最古老和最流行的数学游戏之一。即对个数构成的n阶方表中，每行，每列及对角线之和均相等。例如九宫（表1）每行，每列及对角线之和均为15，这是一个3阶幻方。2阶幻方是不存在的，对于其他的n阶幻方是能够构造出来的。如本杰明富兰克林曾构造过许多有趣的幻方，de la Loubre在17世纪发现了一种构造奇数阶幻方的方法（见文献1
2、）。对于偶数阶幻方构造可在Rouse Ball书中找到（见文献2）。本文利用行列式的性质及运算给出构造同心幻方（嵌套幻方，自中心向外辐射，去掉外层数字，内层仍为幻方）的一种方法。 表1 3阶幻方 表2 3阶幻方原基 表3 5阶幻方原基1、幻方的原基3阶幻方表1中每个元素均减去中心5，表1变为表2可看出每行之和，每列之和均为零，对角线之和也为零。那么就称具有这样性质的方表叫幻方的原基。这样的原基可以扩充到5阶，7阶，(2n+1)阶，且正负整数是成对出现的，中心为0。例如5阶幻方原基如表3,显然 （1） 这样每行、每列之和及对角线之和均为零。且外围16个数成对出现。其中8个正数，8个负数，范围5到
3、12和-12到-5之间的整数。由里到外设为第一层，第二层。那么2m+1阶幻方原基的第m层共有8m个整数，所以第m层的整数个数为，且正整数，负整数均为4m个.最小的正整数为，(第m-1层有个整数，去掉中心的0，正负整数是从1开始且成对出现的，则第m-1层最后的整数是所以第m层整数从到，负数从-(的连续整数。2幻方原基的构造首先介绍两个行列式的性质:定理1：设 （1）证明：记（1）式左边的行列式为的等值n+1阶行列式，即: +(-1)n+2xn上式右边诸行列式除外均按第一行展开，得： 推论：如令设D= 。.（2）定理2：若行列式每行元素的和及每列元素和都等于0，则各元素的代数余子式相等。证明：由行
4、列式的行列变换得=。又可证A的第一列元素的代数余子式,对任意i,j均成立 如果我们对原基取作行列式，则各原基的行列式为零，即各行均加到第一行，则第一行全为零。对3阶，5阶，7阶幻方原基，取其行列式的代数余子式，由性质2，对于同一阶原基的行列式的代数余子式相等。那么从上可推想 （3）为2m+1阶幻方原基代数余子式的通式(m为层数)。在证明通式推想之前，先求出的关系表达式。设第m层幻方原基的行列式为：根据原基的性质有 （4）显然D=0（每行均加到第1行，则第一行全为0），将D的每一元素加1得行列式，则由性质1推论得：=D+ （5）由性质2得 = （6）则经过一系列行列式的变换得= = 令3阶幻方原
5、基两角的元素,分别为-3,1，而-=8，所以 （7）由（6）式得 （8）此为行列式代数余子式的关系式，同样方法可得的关系式：= （9）可见关系式只与原基四个角上的元素有关。现在我们用数学归纳法来证明前面的通式证明：当m=1时有，显然通式成立。设第m-1层原基行列式的代数余子式成立，有=则第m层幻方原基行列式的余子式的关系式：=- （10）所以只要= （11）存在，而第m层整数从到与-（）到-（）之间，其中与满足,且在第m层整数范围内，可令，=因此=是存在的。所以=-= （12）即通式对任意mZ成立。从证明中我们得到了新的关系，=是存在的。那么我们利用它来构造幻方的原基。3、构造幻方的原基对于3
6、阶，；5阶，；7阶，不妨令，=则原基第m层的四个角可写成： 表4 第m层原基的四个角根据幻方原基的性质，则有 （13）令,为连续m-1个正整数，且为其中最小正整数,=2-2m+1,=2-2m+2,=2-2m+m-1。那么为负数，可令,-为连续正整数，不妨令-=-1，并依次向上减1，即-=2+m-1,- =2+m-2，-=2+m-(m-1)=2+1则有+ +=(m-1)(2-2m)+(1+m-1)(m-1)/2+-(m-1)2+(1+m-1)(m-1)/2=-2+2m+=2m则=2,且在2-2m+1,2+2m内,那么-=-2，同样，可令到为连续m-1个正数，从依次向右加1，得：=2-m+1, =
7、2-m+2=2-1则剩下的m个正数放在其余位置，为了有规律，可令=-(2+m+1)=-(2+2m)（即依次向右加1），那么+=(m-1)(2)-(1+m-1)(m-1)/2-m2+(m+1+2m)m/2=-m(m-1)/2-m(m+1+2m)/2-2=-4符合条件则第m层幻方原基如表5：除四个角和中间元素外，从到，从到，从-到-，从-到-依次加1。其它与之对称的元素为相反数。表5第m层幻方原基则这样由里到外可以构造任意奇数阶幻方原基，对于原基的每一个元素加上同一个整数，就可构成连续个整数的幻方，使每行，每列之和，及对角线之和全相等。如果对于n阶幻方每个数加上(+1)/2，那么此时幻方的和等于n
8、(+1)/2=n(+1)/2 (即每行都加到第一行有n个(n2+1)/2相加)另外，从第m层通式可以看出，只要四个角的元素确定，其他元素可以全排列，即从到，从到之间可以任意排列。假定幻方逆时针旋转90度与原幻方不同，第m层至少有4(2m-1)!(2m-1)!种构造方法。而第m层与第m-1层之间有=16种组合方式（），则2m+1阶幻方至少有种构造方法。因此，有了幻方原基就可构造奇数阶同心幻方。 4应用2m+1阶原基第m层正整数范围为 ，。由2m+1=11知m=5，2m+1阶原基正整数范围最大数为/2-1=60利用原基第m层上述结构构造11阶的幻方原基（表6）。从里到外为3阶，5阶，7阶，9阶，1
9、1阶的幻方的原基，将他们分别加上5，13，25，41，61，变成从1到n2(n=3,5,7,9,11)个连续整数幻方。对5阶幻方调换1列和5列，2列和4列得到新的幻方（表7）。只要继续下去，可以构造任意奇次阶幻方。 表6 11阶幻方原基 表7 不同的5阶幻方 通过原基的第m层结构通式，可以对任意连续个整数和等差整数构造出奇次阶同心幻方。 参 考 文 献1Richard A. Brualdi 组合数学 机械工业出版社 2002年1月2.W.W.Rouse Ball, Mathematical Recreations and Essays, revised by H.S.M.Coxeter. Macmillian, New York (1962) 193-2213黎伯堂、刘桂真，高等代数解题技巧与方法，山东科学技术出版社，1999年3月，14154谈详柏，趣味数学辞典，上海辞书出版社，1997年1月，4143数学通报 Tel:62207753 北京师范大学 100875 Email:7
