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1、 全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午:30- 9:3）一、选择题(本题满分42分,每题7分) (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一种是对的的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每题选对得分；不选、选错或选出的代号字母超过一种(不管与否写在括号内）,一律得0分.)1用表达不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知,是的小数部分，是的小数部分,则 ( ) 2.三种图书的单价分别为10元、5元和0元,某学校筹划正好用50元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 ( ） 种 种 种 种 3(A) 如果一种正整数可以表达为两个持续奇数的立
2、方差，则称这个正整数为“和谐数”如：和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 3().已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时, ( ） 4已知的半径垂直于弦,交于点,连接并延长交于点,若,则的面积为 （ ) 5.如图,在四边形中，对角线的交点为，则 ( ） 6.设实数满足 则的最大值为 （ ) 二、填空题（本题满分28分，每题7分)(本题共有4个小题,规定直接将答案写在横线上) 1.【1(A）、2(B)】 已知的顶点、在反比例函数（)的图象上,，轴,点在点的上方,且则点的坐标为 1(B）.已知的最大边上的高线和中线正好把三等分，,则 . 2().
3、在四边形中,平分,为对角线的交点,则 .3【3()、4()】 有位学生忘掉写两个三位数间的乘号,得到一种六位数,这个六位数正好为本来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 . 3(B).若质数、满足：则的最大值为 .4(A).将5个1、个2、个、5个、个5共2个数填入一种5行5列的表格内（每格填入一种数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为，则的最大值为 . 第二试 (月20日上午9：0 1:20） 一、(本题满分20分)已知为正整数，求能取到的最小正整数值 二、(本题满分2分）().如图,点在觉得直径的上，于点，点在上,四边形是正方形，的延长线与
4、交于点.证明:. (B)已知： 求的值三、(本题满分25分)（A).已知正实数满足:，且 .(1) 求的值(2) 证明:(B).如图，在等腰中，为边上异于中点的点，点有关直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值. 全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月2日上午8: 9:30)一、选择题(本题满分分，每题7分） （本题共有6个小题，每题均给出了代号为A，B,C,D的四个答案，其中有且仅有一种是对的的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内 每题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一种(不管与否写在括号内)，一律得0分.)1.用表达不超过的最大整数，把称为的小数部分已知,是
5、的小数部分，是的小数部分，则 （ ） 【答案】. 【解析】 即 又 故选A. 2.三种图书的单价分别为10元、1元和20元，某学校筹划正好用00元购买上述图书3本,那么不同的购书方案有 ( )种 种 种 种 【答案】C. 【解析】设购买三种图书的数量分别为则，即，解得依题意得，为自然数（非负整数），故有种也许的取值(分别为,对于每一种值,和均有唯一的值(自然数）相相应. 即不同的购书方案共有11种，故选C. 3(A）.如果一种正整数可以表达为两个持续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么,不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ) 【答案】B.【解析】 (
6、其中为非负整数)，由得， ，即得所有不超过的“和谐数”，它们的和为故选B.3（).已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ) 【答案】. 【解析】依题意知 故 且,，于是 又为整数, 故，故选B.4.已知的半径垂直于弦,交于点,连接并延长交于点,若，则的面积为（ ） 【解析】设则于在中， 即解得,即 （第4题答案图) 为的中位线，是的直径，故选A 5.如图,在四边形中,，对角线的交点为，则 ( ) （第题答案图) 【答案】D. 【解析】过点作于点则 设则在中， 则 显然，化简整顿得解得(不符合题意,舍去)，故在中,，故选D. 6.设实数满足 则的最大值为( ） 【答案】C
7、. 【解析】 当且仅当时，取等号，故，故选. 二、填空题(本题满分分,每题分）(本题共有4个小题，规定直接将答案写在横线上.) 1.【1(A）、2（B）】已知的顶点、在反比例函数(）的图象上,轴,点在点的上方,且则点的坐标为 .【答案】. 【解析】如图，过点作于点.在中，在中， （第1题答案图) ，设，依题意知故,于是 解得，故点的坐标为.1(B).已知的最大边上的高线和中线正好把三等分,则 .【答案】. 【解析】 (第1题答案图1) ( 第题答案图2) 依题意得, 故. (1)若时，如答案图1所示,又平分 在中,即 从而.在中, 在中，. ()若时,如答案图2所示同理可得.综上所述，. 2(
8、A）在四边形中,平分,为对角线的交点，则 【答案】. 【解析】设, 平分,，,， (第题答案图), 解得,，故.【(A)、4()】 有位学生忘掉写两个三位数间的乘号,得到一种六位数，这个六位数正好为本来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 .【答案】.【解析】设两个三位数分别为，则,故是的正整数倍,不妨设(为正整数）,代入得是三位数，解得为正整数，的也许取值为验证可知,只有符合，此时 故所求的六位数为. 3(B).若质数、满足:则的最大值为 .【答案】. 【解析】由得,由于质数,故的值随着质数的增大而增大,当且仅当获得最大值时，获得最大值. 又,由于质数,故的也许取值为,但时,不是质数,舍去.当时,恰为质数.故. (A)将5个1、5个、个、5个4、5个共2个数填入一种5行列的表格内（每格填入一种数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这个和的最小值为,则的最大值为 .【答案】 【解析】(根据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,拟定的最大值.(）若5个1分布在同一列,则；()若个1分布在两列中,则由题意知这两列中浮现的最大数至多为,故,故；（) 若个分布在三列中，则由题意知这三列中浮现的最大数至多为3，故,故; (4) 若个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一种数不小于3,这与已知矛盾. 综上所述, 另一方面,如下表的例
