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1、浅析中考中的动点问题厦门市刘五店中学 黄栋内容摘要：中考数学命题中，动点问题常以压轴题频频出现。针对此类难题，教师要善于从历年试题分析中总结其解题方法与技巧，结合学生实际学情，用直观演示，动静结合，数形结合，讲练结合等方式，有针对性地循序渐进地指导学生分析解决此等类似问题，提高其审题与解题的能力。关键词：动点 运动 以静制动 动中求静 以动制动 数形结合 分类讨论 动点问题一般是指在一个几何图形的背景下,一个或两个点在运动过程中构成了新的几何图形,由此而产生的问题。它往往考查学生对图形把握的直觉能力、空间想象能力以及从变化中看到不变的数学洞察力，培养学生用运动变化的观点看待周围世界，以及特殊与
2、一般、动与静的辩证观点。初中新课标在数学教学目标中提出：数学教学要注重过程与方法，动点问题恰好具有这种特点，同时，它还是初高中数学知识衔接的重要体现；也是数学源于生活，又用于生活的一种体现。因此，它在近几年中考题中频频出现也就不足为奇了。那么，作为一名数学教师，该怎样指导你的学生面对这一难题呢？现在，我就以一线从教多年的经验，谈谈我的研究与心得。一，动点问题的解题方法解动点问题主要有以下方法：第一，“以动窥静”，“以静制动”。辨证唯物主义认为：运动是无条件的、绝对的，静止是有条件的、相对的，动中有静，静中有动，世界上一切事物的存在和发展，都是绝对运动和相对静止的统一。动点问题中也存在运动和静止
3、的相对统一关系。这时需要善于用动态思维来分析，不被“动”所迷惑，通过观察、分析、探究，把动态问题转化为静态的问题来解决，从而找到问题的突破口。通常，可以找出动点运动中符合题意的某一阶段的一瞬间，画出相对应的图形（以动窥静），再从一瞬间对应的图形出发，研究其中的特点，解答出问题（以静制动）。例1，如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，B=90 ，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，问：当t分别
4、为何值时，（1）点P，Q两点的距离最短；（2）四边形PQCD为平行四边形？解：（1）当PQBC时，点P，Q两点的距离最短，A=B=90，四边形ABQP是矩形。AP=BQ AP=t，BQ=263tt=263t，解得：t =13/2当t =13/2时，点P，Q两点的距离最短。（2）当四边形PQCD为平行四边形时，有PD=CQPD=24t，CQ=3t,24t=3t，解得：t =6 当t =6秒时，四边形PQCD为平行四边形点评；此题是典型动点问题，初看似乎与静止无关，实际上该问题的解决恰好运用了“以动窥静”，“以静制动”，随着P、Q两点的运动，四边形PQCD会出现几种临界状态：一般梯形、平行四边形、
5、一般梯形、直角梯形、一般梯形、等腰梯形、一般梯形，找到对应的几种静止状态下某几条线段之间的大小关系：一般梯形（PDCQ），平行四边形（PD=CQ），一般梯形（PDCQ），直角梯形（AP=BQ），一般梯形（PDCQ），等腰梯形（PDCQ且AP-BQ=BC-AD），一般梯形（PDCQ）。第（1）题中四边形POCD对应状态是直角梯形（AP=BQ）第（2）题中四边形POCD对应状态是平行四边形（PD=CQ）。解决这类形题一般只要理解动点运动的整个过程，找出动点运动过程中的各种临界状态，画出相对应图形，理清各种临界状态变量之间关系，根据方程和函数就可解决。第二，动中求静。很多动点问题中，往往蕴含不变的图
6、形，不变的量，如果抓住了这些不变的图形，不变的量，就能以不变应万变，立于不败之地。例2，在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BEPA、DFPA，垂足分别为E、F，如图（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系若点P在DC 的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD 的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明解；（1）图有BEDF=EF；图有DFBE =EF；图有BE+DF=EF。（2）以图中BEDF=EF为例证明：BEPA、DFPA，AEB=AFD=90DAF+AD
7、F=90DAF+BAE=BAD=90ADF=BAEAB=ADABEDAFAE=DF，BE=AFBEDF=AFAE=EF点评：解本题的关键是：找到不变量ABEDAF。从图中，观察可发现：无论P点如何变化，总有ABEDAF，从而有AE=DF，BE=AF再结合图形，可知图有BEDF=AFAE=EF；图有DFBE=AEAF=EF；图有BE+DF=AF+AE=EF。第三，以动制动。有的动点问题需要研究两个变量之间的关系，这时，可以试图建立两者之间的函数关系，利用函数性质来求解。例3，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：RtAB
8、MRtMCN；（2）设BMx，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时，RtABMRtAMN，并求此时x的值解：（1）正方形ABCD，BC90，AMBBAM90AMMN，AMN90，AMBCMN90BAMCMN，RtABMRtMCN（2）RtABMRtMCN，即CNy(CNAB)BC(4)4x 22x8(x2)210当x2时，y取最大值，最大值为10当M点运动到BC的中点时，四边形ABCN面积最大，最大面积为10（3）BAMN90若RtABMRtAMN，则RtABMRtMCN，BMMC当M点
9、运动到BC的中点时，RtABMRtAMN，此时x2 点评：解决这类两个变量之间的关系的动点问题的关键是建立函数关系。而建立函数关系一般是由相似三角形、线段的比例关系和面积等得出。而最值问题只要根据函数性质结合题目限制条件（如自变量取值范围）就可求得。二，教学的几点建议1，有效解题。首先，教学时教师应注意层次性，要讲究循序渐进，由浅入深，由易到难，不要一步到位，应逐步过渡，如果违背学生的认知规律，教学效果是可想而知。其次，注意所选例题的典型性，尽量多选最基础且最具代表性的动点问题，这样就可由一题推及一类，让学生可触类旁通，达到举一反三的效果。2，教学时要注重两个过程。第一，重视动点运动的整个过程
10、。动点问题与其它静态问题不同之处在于：动点运动过程中，图形会跟着发生变化。解决动点问题关键是要搞清楚图形的变化过程，理解图形的运动规律。首先，要引导学生认识并理解这个过程，这一点对于解题有至关重要的作用，特别对于初学动点问题和理解能力差的学生，它是解决这类问题的的最佳钥匙。在前面例1的教学中。在讲述本题时，我先播放多媒体课件，让学生们反复观看P、Q两点从开始运动到其中一点到达终点停止这一过程，第一遍让学生们仔细感受四边形PQCD的变化：开始四边形PQCD是一般梯形，然后四边形PQCD是平行四边形，一般梯形，直角梯形，一般梯形，等腰梯形，一般梯形，并画出各种情况下的代表图形；第二遍让学生观察当四
11、边形PQCD分别出现以上不同情况下边DP与边CQ的数量变化：PDCQ，PD=CQ，PDCQ。我发现学生们在几遍观察之后，就开始讨论其中的变化，反应比开始好多了。实践证明，先必需要让学生对动点问题有感性认识，只有感性认识足够了，才能让学生对动点问题认识升华到理性的角度，并对之产生观察、思考、跃跃欲试的兴趣。其次，在需要分类的动点问题中，认识并理解这个过程对于正确分类有很强的导向作用。有的动点问题分类的切入点就是动点的不同位置，理解了动点运动的整个过程，就可以很容易科学地进行分类。第二，重视学生思维的形成过程。解题思维的形成有如下特点：寻找方法不断探索纠错最后找出正确解法。如果教师上课时，解决问题
12、每次都是顺利流畅，讲解例题、习题时滴水不漏，那么就会掩盖教师在寻找方法不断探索纠错这一过程，掩盖教师解决问题经历的曲折或失误，不利于学生解题思维的形成。相反，教师如果愿意向学生展示自己的思维过程：如何切入，寻找方法，如何纠正错误思路，最后得到正确方法，学生不但能学习教师分析问题，解决问题的思想方法，还能了解：原来教师在解决问题时也会遭遇挑战，也会经历曲折与失误，这对于学生克服畏难情绪，树立解题自信心是十分有益的。3，注重数学思想方法的渗透。 数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，在数学教学和探究活动中始终体现这些数学思想方法，动点问题也不例外，因此，在数学教学中应特别注重这些
13、思想方法的渗透，因为只有让学生充分掌握领会这种思维，才能更有效地运用所学知识，形成求解动点问题的能力。动点问题中主要体现方程与函数思想，数形结合思想，分类讨论思想等。方程与函数思想。大多数动点问题到最后都转化为方程或函数形式，然后利用方程或函数的性质来求解。数形结合思想。动点问题中，所研究的量的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。例4，如图，直线y=x+4与两坐标轴分别相交于A、B两点，点M是线段AB上任意一点（A、B
14、两点除外），过M分别作MCOA于点C，MDOB于点D，当点M在线段AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由。分析：直接观察四边形OCMD的周长是不好入手的，我们如果能设一个未知量a，然后将四边分别用a表示就比较好办了，因为点M在直线y=x+4上，所以可设M（a,a+4），可得OC=DM= a，OD=MC=a+4，故四边形OCMD的周长= 2a+（a+4）=8，即四边形OCMD的周长不变。分类讨论思想。动点问题是中考的热点，常作为压轴题，难度较大，往往会出现多种情况或多个结果。这时就需要分类讨论。分类讨论的关键是考虑运动全貌，对运动的整个过程的深刻把握，站在更高角度鸟瞰全
15、局，不致以偏概全，这样才能做到分类标准统一，不漏不重。例5，直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线运动（1）直接写出两点的坐标；xAOQPBy（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式分析：（2）通过了解P、Q两点的运动变化规律，Q点的位置始终在OA上，故OQ=t，而P可以分别位于OB和AB上，故分两种情况：a当P点在OB上时，先求得点的速度是（单位/秒），此时，OP=2t，故s=OQ*OP=*t*2t=；b当在线段上运动时，如图b，作作于点，由，得，解（1）A（8，0）B（0，6）（2）点由到的时间是（秒）点的速度是（单位/秒）当在线段上运动（或0）时，当在线段上运动（或）时，,如图b，作于点，由，得，教师在进行动点问题的教学时，只有长期、反复、明确的渗透数学思想方法，才
