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1、(word完整版)知识讲解_充分条件与必要条件(经典)充分条件与必要条件编稿：张希勇 审稿：李霞【学习目标】1理解充分条件、必要条件、充要条件的定义;2会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4。能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明。【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：;“若，则为假命题,记作：.充分条件、必要条件与充要条件若，称是的充分条件，是的必要条件.如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件。要
2、点诠释：对的理解：指当成立时,一定成立,即由通过推理可以得到.“若，则”为真命题;是的充分条件；是的必要条件以上三种形式均为“这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若,则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；若,但,则是的必要不充分条件,是的充分不必要条件；若，且，即，则、互为充要条件；若，且，则是的既不充分也不必要条件。从集合与集合间的关系看若p：xA，q：xB， 若AB，则是的充分条件，是的必要条件;若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件;若A=B,则、互为充要条件；若A不是B的子集且B不是A的子
3、集，则是的既不充分也不必要条件。要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。判断方法通常按以下步骤进行：确定哪是条件，哪是结论;尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件，最后判断条件是结论的什么条件。要点三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立)，又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立)要点诠释:对于命题“若，则”如果是的充分条件，则原命题“若,则与其逆否命题“若，则为真命题；如果是的必要条件,则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题;如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.
4、【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中,是的什么条件？(1） : , : ；（2) : ，： 抛物线过原点（3) ： 一个四边形是矩形，: 四边形的邻边相等【解析】（1)： 或, : 且,是的必要不充分条件；(2）且,是的充要条件；(3)且，是的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件-找推式下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中,是的什么条件?（1）：，：和是对顶角。（2），；【答案】(1）且,是的必要不充分条件，是的充分不必要条件。（2），但，是的充分不必要条件,是的必要不充分
5、条件.【变式2】判断下列各题中是的什么条件.（1):且, :(2):, : 。【答案】（1）是的充分不必要条件.且时，成立；反之，当时,只要求、同号即可.必要性不成立。（2）是的既不充分也不必要条件在的条件下才有成立.充分性不成立，同理必要性也不成立。【高清课堂:充分条件与必要条件394804例2】例2。 已知p：0x3，q:x-12，则p是q的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件XO3-112PQ【解析】q：x12，解得-1x3,亦即q：1x3。如图,在数轴上画出集合P=(0，3),Q=（1，3），从图中看PQ, pq，但qp，所以选择（
6、A）.【总结升华】先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断。举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设，则条件“”的一个必要不充分条件为（ ） A. B。 C。 D。【答案】A【变式2】（2015 天津文）设xR，则“1x2”是“x2|1”的（ ）A 充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】由|x21 1x211x3，可知“1x2”是“x2|1”的充分而不必要条件。故选：A.【变式3】 (2015 福建）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l
7、的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】若lm，因为m垂直于平面，则l或l；若l，又m垂直于平面,则lm，所以“lm”是“l”的必要不充分条件，故选B 类型二：充要条件的探求与证明例3。 设x、yR，求证：x+y|=x+y成立的充要条件是xy0。【解析】（1)充分性：若xy=0，那么x=0，y0；x0,y=0；x=0，y=0，于是|x+y=|x|+y如果xy0，即x0,y0或x0,y0，当x0，y0时,|x+y|=x+y=|x|+y|.当x0，y0时，|x+y=（x+y)=x+(y)=|x+|y。总之，当xy0时,有|x+y|=|x|+|y
8、|.（2)必要性:由|x+y=|x+y及x、yR,得（x+y）2=（|x+y)2,即x2+2xy+y2=x2+2|xy+y2，xy|=xy，xy0.综上可得|x+y=|x+|y成立的充要条件是xy0。【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件,哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题。判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法,即利用与；与；与的等价关系,对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法。（3）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件.举一反三：【变式1】已知a
9、, b， c都是实数，证明ac0是关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】(1）充分性：若ac0，方程ax2+bx+c=0有两个相异实根,设为x1, x2, ac0, x1x2=0, x20，则x1x2=0，ac0综上可得ac0是方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件。【变式2】求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件。【答案】(1）a=0时适合.（2）当a0时,显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则必须满足;若方程有两个负的实根，则必须满足综上知,若方程至少有一个负的实根，则a1；反之，若a1，则方程至少有一个负的实根
10、，因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a1类型三:充要条件的应用例4。 已知p：AxR|x2ax10，q：BxRx23x20，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【解析】BxRx23x20x|1x2，p是q的充分不必要条件，即AB，可知或方程x2ax10的两根要在区间1，2内a240或，得2a2.【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A、B，再由它们的因果关系，得到A与B的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p:1cx7或x1，并且p是q的既不充分又不必要条件，则c的取值范围是_【答案】07或x0,综上所述得0c2。【变式2】已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围。【答案】【解析】由解得又由解得p是q的充分不必要条件，所以或解得
