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1、综合设计性单摆实验讲义毛杰健,杨建荣单摆是由一摆线l连着重量为mg的摆锤所组成的力学系统，是力学基础教科书中都要讨论的一个力学 模型。当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现，摆长一定的摆，其摆动周期不因摆角而变化，因 此可用它来计时，后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果，发明了摆钟。如今进行的单摆实验，是要进 一步精确地研究该力学系统所包含的力学线性和非线性运动行为。练习一是单摆的基础实验，适用于大学 低年级开设，练习二是单摆的设计性实验，适用于高年级学生学习和认识非线性物理开设。练习一 单摆的基础实验一 实验目的1、学会使用计时器和米尺，测准摆的周期和摆长。2、验证摆长与周期的关系,掌握
2、使用单摆测量当地重力加速度的方法。3、初步了解误差的传递和合成。二 仪器与用具单摆实验装置，计时器，米尺。三 实验原理1利用单摆测量当地的重力加速度值g 用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角0很小的摆动就是一单摆。如图1所示。设小球的质量为m,其质心到摆的支点O的距离为l （摆长）。作用在小球上的切向力的大小为mg sin9，它总指向平衡点O。当0角很小，则sin0，切向力的大小为mg9，按牛顿第二定律，质点的运动方程为ma = 一mg sin 0 ， 即切ml= mg sin0 ,dt 2因为sin0 Q0，所以(1)这是一简谐运动方程（参阅普通物理学中的简谐振动），（1）式的解为0 (t)
3、 = P COS t +0)，0(2)(3)式中，P为振幅，0为幅角，为角频率（固有频率），T为周期。可0见，单摆在摆角很小，不计阻力时的摆动为简谐振动，简谐振动是一切 线性振动系统的共同特性，它们都以自己的固有频率作正弦振动，与此 同类的系统有：线性弹簧上的振子，LC振荡回路中的电流，微波与光学谐振腔中的电磁场，电子围绕原子单摆示意图核的运动等，因此单摆的线性振动，是具有代表性的。由式可知该简谐振动固有角频率的平方等 于g /1，由此得出(4)单摟删面團单摆正面图图2单摆结构示意图由（4）式可知，周期只与摆长有关。实验时，测量一个周期的相对误差较大，一般是测量连续摆动1 个周期的时间t,由（
4、4）式得n2l(5)g = 4兀 2t2式中兀和n不考虑误差，因此（5）式的误差传递公式为(6)从上式可以看出，在Al、At大体一定的情况下，增大/和t对测量g有利。四 实验内容1、分别用米尺和游标卡尺，测量摆线长和摆球的半径摆长l等于摆线长加摆球的半径。12、当摆球的振幅小于摆长的12时，摆角& 5。3、如果用停表测量周期，当摆锤过平衡位置O时，按表计时，握停表的手和小球同步运动，为了防止数 错n值，应在计时开始时数“零”以后每过一个周期，数1, 2,，n。以减少测量周期的误差。4、如果用计时器测量周期，参见附录2有关计时器的使用.5、重力加速度g的测量实验方案一:改变单摆的摆长l，测量在e
5、 5。的情况下，连续摆动n次的时间t,填入表1中。表1：改变摆长l，在e 5。的情况下，连续摆动20次时间t的测量结果摆长l (cm)60.0070.0080.0090.00100.00110.00周期T“(s)周期T(s)周期T(s)周期T(s)T2表1的测量数据,有二种处理方法:(1) 作图法:根据表1的数据，作l T2直线，在直线上取二点y 一 yA和B,求直线斜率K二 2，由(4)式知x 一 x1 24兀2g二育，根据(7)式求重力加速度g.(2) 计算法:根据表1的数据，分别计算,不同摆长的重力加速度g1,g2,g3,g4,g5,g6,然后取平均，再计算不确定度.123456实验方案
6、二：不改变单摆的摆长l，测量在e 5。的情况下，连续摆动n次的时间t。参考“六测量举例”处理实验数据。6测量同一摆长不同摆角下的周期T，比较摆角对T的影响。 表2摆角对周期T的影响摆角e (度)25101520253035404550556065707580周期T (s)五 回答问题1、设单摆摆角e接近o。时的周期为t 0，任意摆角e时周期t,二周期间的关系近似为1eT = T (1 + 了 sin2),o 42若在e = 10。条件下测得T值，将给g值引入多大的相对误差？2、有一摆长很长的单摆，不许直接去测量摆长，你设法用测时间的工具测出摆长？六 测量举例用单摆测g表3用游标卡尺测求的直径d
7、d(cm)2.6952.690表4 用米尺测摆线长x (cm)14.55 4.51 4.60 4.57x (cm)2116.80116.75116.90116.857dl - x - x + 2 1 2113.60113.59113.65113.63表5用电子秒表或用计时器测n=50的t值t (s)106.84106.87106.95106.85106.82106.93l = 1.1362 土 0.0001 (m),t = 106 .88 土 0.02(s)已知 g - 4 兀 2 In 2 /12, Ag / g - Al /1 + 2 x At /1,结果 g - 9.817 土 0.00
8、5(m/s2),上述结果中的0.005(m / s2)仅为标准偏差，未估计其它的不确定度。练习二 单摆的设计性实验一 实验目的1、学会用相图法探究单摆的运动行为。2、改变摆线和摆球,考查阻力对单摆运动行为的影响。二 实验原理单摆的线性振动是一种近似，实际上，单摆在振动的过程中，既受到阻力又与摆角有关，在小阻尼条件下，可认为单摆所受到的阻尼力与摆的速度成正比，因此，在单摆的运动方程中加进了阻尼力项后，其 动力学方程为：d 20d0. nm l+Y l+ mg sm 0 - 0，（8）dt 2dtV式中，第二项就是单摆受到的阻尼力，丫为阻尼系数，在小阻尼条件下，丫可视为常数，取卩-,02m为无量级
9、阻尼系数，由（8）式，得d 20d0+ 20+ w sm0 - 0，（9）dt 2dt0（9）式为一非线性方程。物体运动的非线性行为比较复杂，下面我们讨论（9）式的几种特殊情况，介绍 描述运行行为的相图法。1、小角度无阻尼单摆运行的相轨图无阻尼情况下， V -0（0 -0） 。正弦函数用级数展开为030507-亍+孑-邛+.，(10)在小角度情况下，忽略（10）式的高次项，有sin0 -0，由（9）式退化到（1）式，并对（1）式进行 次积分，得1zdO1q厂（）2 + 20 2 = E ,（11）2 dt 2 0E为积分常数，设昵为角速度，则有dt02 +W 202 = 2E ,（12）0如果
10、设（12）式中的 x= 0为横坐标，y=邯为纵坐标，（12）式表示的图像如图3所示。把以供和0定义的平面称为相平面（相空间），在相平面中，表示的运动关系图称为相图，由（ 12）式决定的单摆运动 行为的相图，为一椭圆，这种在相平面上表示运动状态的方法，称为相平面法。相图上每一个点表示了系 统在某一时刻的状态，如图3中的摆角与角速度运动状态图，系统的运动状态则用相图上的点的移动来表 示，点的运动轨道称为轨线。这种用相空间里的轨线来表示系统运动状态的方法是法国数学家宠加莱（Poincare）于19世纪末提出的，已成为广泛使用的一种描述系统运动状态的方法。对于小摆角无阻尼的单摆运动，摆长l 一定时，其
11、椭圆轨线的长短轴不变，当改变摆长l时，将得到 不同的椭圆轨线。相轨线的测量：选定摆长l，使摆球作小角度摆动，调节光电门竖直和水平控制杆，使摆球的档光片 经过光电门，将光电门竖直杆调节到某一角度，测量摆球经过该位置时，来回的即时速度 v,角速度 胆v/ /。调节光电门到新的位置，测量结果填入表5中，根据表5的测量结果作0 -e2图。表 5 小角度无阻尼单摆的角度与角速度的测量结果0504030201000-10-20-30-40-50t向左向右9= v / l向左向右利用0-02相轨图，研究小角度无阻尼的单摆动运行规律，并与练习一进行比较。2、小角度阻尼单摆的运动行为研究 将单摆的摆线加粗，摆球
12、的质量减小而体积增大，如用乒乓球，组成一个阻尼单摆，此时阻力对单摆的影响更加明显，不能忽略，（9）式中的Y , 0不为零，由于是小角度，可近似认为sin0=0。由（9）式得d 20d 0+ 2020= 0，（13）dt 2dt0设（13）式有如下形式的解0 = ek，（14）式中，九为待定常数，将（14）式代入（13）式，得特征方程九2 + 20九 + w 2 = 0，（ 15）0解特征根方程（15）式，得九 =卩 0 2 w 2 ，（ 16）1,2 “ 0由于单摆是小阻尼所以卩2 - w02 0而减小。为了给出在相平面的图像，对（19）式微分，得0= -pe-EP cos（t + 9） + sin（t + 9）。（20）7551-O.z匚亏-C.5S3小角度元但尼单摆运鬲的相轨线图4小凭度有阻尼单黑运动笊相轨图如果设x= 0为横坐标，y=吟纵坐标，借助符号运算软件MAPLE，作（19）和（20）式联合的参数 图，结果如图4 所示。可见，小角度有阻尼单摆的运动相轨图为螺旋线，单摆的运动因阻尼的存在，而停 止在坐标的原点，这一点称为不动点。自行设计实验方案，测量小角度有阻尼单摆运动的行为，并用相轨图法，研究阻尼单摆的运动行为。附录 1：单摆的调节调节使用说明附录 2：计时器的调节使用说明
