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1、 第八章 静力学基础静力学研究物体的平衡规律。在工程中，把物体相对于地球静止或作匀速直线平移运动的状态，称为平衡。静力学的主要任务是确定平衡物体系统中各个构件的外部和内部机械作用。为了进行定量分析，把物体之间的这种相互机械作用抽象为力。力对被作用物体来说是定位矢量，其大小、方向与作用点，称为力的三要素。作用在物体上的一群力，称为力系。根据力系中诸力作用线的空间位置关系，可分为平行力系、汇交(共点)力系、力偶系、平面力系、空间力系等。静力学的分析方法是：在研究力的外效应时，把物体抽象为其内部各点间距离保持不变的刚体，使问题得到简化，也使研究得到深入；在需要研究力对物体的内部效应时，这种理想化的刚
2、体模型不再适用，而应采用各点间距离可发生改变的变形体模型。而变形体的平衡也是以刚体静力学为基础的，只是还需补充变形的几何条件与物理条件。静力学的研究途径是：首先，把受载的平衡构件从其所在位置隔离出来，用力取代周围物体对它的作用，简化为受力系作用的平衡刚体；其次，运用矢量知识及静力学公理将力系简化，研究力系的整体特征，推演出作用在平衡刚体上的全部外力组成的平衡力系所满足的平衡条件；最后，运用这些条件，由已知荷载，求出构件所受的全部未知外力。静力学研究两个基本问题：(1) 力系的简化；(2) 力系的平衡。本章静力学建立在力的矢量数学基础上，称为矢量静力学。它所涉及的物理量如力、力矩和力偶矩都是矢量
3、，各矢量之间以简明的几何关系相联系。运用矢量在坐标轴上的投影，可将矢量关系转化为标量运算。除矢量静力学外，还有一种用解析方法表达的分析静力学。 研究力系对刚体作用的总效果，需要用最简单的力系进行等效替换，称为力系的简化。力系的简化是静力学的基础，也是动力学物体受力分析的基础。静力学是一个公理化体系，它的全部理论是从静力学公理出发，运用矢量数学进行力系的等效变换与简化而形成的。将工程中的受载构件分离出来，抽象为受力刚体，这是静力学的基本模型之一。建立这种模型的关键在于分析研究对象的周围诸物体对它的作用力性质，经过适当简化，确定其合力作用点的位置及作用线的方位，即对物体进行受力分析。8.1 静力学
4、公理静力学中，最简力系的简化规则、最基本的平衡条件、力系效果的等价原理、物体之间的相互作用力关系以及刚体平衡条件与变形体平衡的联系，经人们长期实践与反复验证，总结成为下列静力学公理。公理1 (力的平行四边形规则) 作用于物体上同一点的两个力的合力仍作用于该点，其合力矢等于这两个力矢的矢量和。即力的合成与分解，服从矢量加减的平行四边形法则如图8.1(a)所示，将平移后，得力三角形，如图8.1(b)所示，这是求合力矢的力的三角形法则。由此可求两力之差：，如图8.1(c)所示。 (a) (b) (c)图8.1力的相加与相减若求图8.2(a)中所示n个共点力之和 （1.1） (1-1)可由矢量求和的多
5、边形法则，得力多边形，如图8.2(b)所示，其中，为合力矢量，O为合力作用点。公理1给出了最基本力系的简化规则。(a) (b)图8.2 汇交力系合成注意：力多边形法则求合力，仅适用于汇交力系，且合力作用点仍在原力系汇交点。公理2 (二力平衡条件) 作用在同一刚体上的两个力，使刚体平衡的必要且充分的条件是，此二力等值、反向、共线。这是刚体平衡的最基本规律，也是力系平衡的最基本数量关系。(a) (b)图8.3 二力平衡构件应用公理2，可确定某些未知力的方位。如图1.3(a)所示直杆AD和折杆BC相接触，在力作用下处于静止，若不计自重，则BC构件仅在B，C两点处受力而平衡，故此二力等值、反向、共线，
6、必沿BC连线方位，如图(b)所示。我们把这种仅受二力作用而平衡的构件，称为二力构件。(a) (b)思考8-1图思考1-1 如图(a)所示，轮心用细绳拉住，置于粗糙斜面上，试分析斜面对轮的作用力方向。如图(b)所示，、两球用轻质杆相连，静止于粗糙斜面上，若不计杆重，试分析、两端所受合外力的方位。公理3 (加减平衡力系原理) 在已知力系上加上或减去任意平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。它是力系替换与简化的等效原理。注意 在物体上加减平衡力系，必然引起力对物体内效应的改变，在涉及内力和变形的问题中，公理3不适用。例如，若在图8.3(a)中加一对平衡力和，如图8.4(a)所示，若整体仍旧平衡，却改
7、变了B处内力（杆AD与BC的相互作用力），也改变了C和A处的作用力。又如在图8.4(b)中，杆先在B处受力，后在杆B，C两处加一对平衡力和，则A端所受外力不变，段内力（将AB段截开，左右两边相互作用力）不变，但BC段的内力与变形均改变。由公理3，作如图8.5所示的等效变换，先在B处加一对平衡力，然后减去一对平衡力，可得下列推论1。(a) (b)图8.4 加减平衡力系原理不适用情形图8.5 力对刚体可传推论1 (力对刚体的可传性) 作用在刚体上某点的力，可以沿着它的作用线滑移到刚体内任意点，并不改变该力对刚体的作用效果。可见，力对刚体是滑移矢量，力的大小、方向和作用线是力对刚体的三要素。需指出的
8、是，力的可传性与公理3同样，只限于研究力的外效应。在图8.3(a)中，不可将力滑移到BC杆上，因为滑移后改变了B处的内力，因而也改变了系统的A和C处外力。图8.4(b)中，若将杆C端力传至B处，则BC段的内力与变形也会随之消失。又如图8.6所示，研究用绳拉住的AB杆受力时，重力不能直接传到AB杆上。推论2 (三力平衡汇交定理) 若刚体受三力作用而平衡，且其中两力线相交，则此三力共面且汇交于一点。证明 图8.7所示刚体受力作用而处于平衡。先将力滑移至交点O，并合成为力，则与二力平衡，与共线，故与共面，且交于同一点O。该定理说明三个不平行力平衡的必要条件，容易推广到更一般的情形：刚体受n个力作用而
9、平衡，若其中个力交于同一点，则第个力的作用线必过此点(请读者自己证明)。 图8.6 重力不可传至上 图8.7 三力平衡汇交问题1-1 试判断图示平衡系统中重杆对圆轮的作用力方向，设接触点为A、C。答 圆轮在A，C，O三点受三力作用而平衡，轮心O处重力与C处外力交于C点，故杆在A处对轮的作用力必沿AC方向。思考8-2 AB杆在图示平面力系作用下能否平衡? 问题8-1图 思考8-2图公理4 (作用与反作用定律) 两物体间的作用力与反作用力，总是等值、反向、共线地分别作用在这两个物体上。公理4是研究两个或两个以上物体系统平衡的基础。图8.8 物体间的作用力与反作用力注意，作用力与反作用力虽等值、反向
10、、共线，但并不构成平衡，因为此二力分别作用在两个物体上。这是与二力平衡公理的本质区别。在图8.3中，画出了构件BC的受力图后，再画AB杆受力图时，B处的反作用力必须与等值、反向、共线，由三力汇交确定方位，如图8.8所示。公理5 (刚化原理) 若变形体在某一力系作用下平衡，则将此变形体刚化后，其平衡状态不变。图8.9 刚体平衡，相应变形体不一定平衡刚化原理建立了刚体平衡条件与变形体平衡的联系，提供了用刚体模型研究变形体平衡的依据。但需注意：刚体平衡条件对变形体来说必要而非充分，如图1.9所示的刚体受压平 图8.10 原形刚化求外力衡，相应变形体(软绳)受同样压力却不平衡。还应指出，在小变形条件下
11、，求变形体的外力和内力时，均在未变形状态对变形体刚化，这既简化计算，也符合工程精度要求。如图8.10所示，求力大小时，将直杆AB刚化，不计与的微小位移影响。问题8-2 试确定图(a)所示砖夹中间两块砖之间及图(b)中完全对称的人字梯两边在B处的相互作用力方向。 (a) (b)问题8-2图答 由对称性知，图(a)中间两块砖之间的摩擦力必为零(若不为零，则据公理4知两边摩擦力方向一个向上，另一个向下，出现不对称受力情况，这不可能出现)。同理推知，图(b)中梯子两边在B处相互作用力方向必为水平。思考8-3 二力平衡条件、加减平衡力系原理、作用与反作用定律、力的平行四边形法则、力对刚体的可传性、三力平
12、衡汇交定理，哪些只适用于刚体？哪些适用于变形体?哪些二者均适用？8.2 力的投影、力矩与力偶力对被作用物体是定位矢量，力对刚体是滑移矢量，二者均符合一般矢量的运算法则和性质。注意到矢量代数中所讨论的是既可滑动又可平移的自由矢量，可直接得出力的几个基本矢量性质。8.2.1 力的投影1 力在平面上的投影是矢量如图8.11所示，力在平面上的投影仍为矢量，其模为（1-2） (1-2)图8.11 力的投影 图8.12 长方体顶面力的投影2 力在轴上的投影是标量如图8.11所示，将向x轴投影，得有向线段，由矢量在轴上投影的定义可知，为力在x轴上的投影。由此可得力在轴上投影的如下两种方法： (1) 直接投影
13、法。若已知力与x轴正方向的夹角，则（1-3） （1-4）(2) 两次投影法。若已知力与轴所在平面的夹角，且此力在平面上的投影与x轴夹角为，则(1-4)如图8.12所示，力作用在棱长为2，3，4的长方体顶面上，则在x，y，z三个坐标轴上的投影分别为（1-5）在直角坐标系中，(1-5)式中为相应坐标轴正方向的单位矢量。图8.12中 。顺便指出，力在某轴上的投影也可表示为力与该轴单位矢量的标积，如。思考8-4 如何求图8.12中力在OC轴上的投影？3 合力投影定理将图8.2中汇交力系合成的力多边形置于直角坐标系xyz中，则将它们代入式(1-1)中，并比较等式两边系数得(以下均略去求和号下的下标i)此即合力投影定理：合力在某轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力的大小为方向余弦为思考8-5 力沿两坐标轴的分量是否等于该力在相应坐标轴上的投影?1.2.2 力矩一般说来，力对刚体有移动效应，也有使刚体绕某点(或轴)转动的效应，例如汽车的挡位操纵杆，如图8.13(a)所示，力的这种转动效应的度量，叫力矩。
