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1、由分数乘法意义教学引发的思考方莉萍这个讨论说明了什么有关分数乘法意义教学的讨论最近成为大家谈论的热点之一 详见中小学数学（小学版），2005年第7-8期“分数乘法的意义”之困惑以及2006年第1-2期也谈“分数乘法的意义之困惑”，以及中国数学课程网（http:/）数学论坛相关讨论。,分析老师们聚焦的问题，发现主要在于：第一学段学习乘法的认识时取消了乘数和被乘数的区别, 3既可以解释为3个5,也可以解释为5个3，并且学生借助具体情境认识到乘法是几个相同加数的和的简便运算，但是在学习分数乘法时，解释为5个没有问题，而如何让学生理解分数乘法的另一层意义表示5的呢？受整数乘法的影响,学生理解有困难。于
2、是，有的教材把分数乘法的意义和计算法则分为“分数乘整数”与“一个数乘分数”两个小标题来区分分数乘法的两层含义，但是似乎又与前面取消乘数和被乘数的区别相矛盾。 这个关于分数乘法的问题说明了什么？我认为以下几个方面应该引起我们的思考。为学生积累运算的多种“原型“一般来说,小学阶段引入乘法的方法就是重复的加法，即我们可以将53解释成5个3相加或者3个5相加。基于这样的事实，许多小学数学教材都会直接把乘法定义为 “求几个相同加数的和的简便运算”。事实上由加法引入乘法在自然数范围内很起作用，但这一定义中“几个”必须是自然数才好理解，所以出现分数和小数以及负数乘法时，这种用重复加法来考虑乘法意义就显得很难
3、理解。实际上用重复的加法对乘法作解释只是乘法意义解释之一。Greer在1992年提出，乘法模型有以下四种解释摘自国小数学科教学研究刘秋木著，台北市，五南图书出版公司。：（1） 乘法可以解释为含相同个数的集合之合，即单位量单位数全部个数，如一辆车子有四个轮子，请问6辆车有几个轮子？（2） 乘法可以解释为两集合内所有元素之对应，即A集合个数B集合个数全部个数，如妹妹有2件上衣、3条裤子，请问她有几种不同的搭配法？（3）乘法可以解释为方阵排列之个数的计算，即行的单位数列的单位数全部个数，如请问图中有几个？（4）乘法可以解释为两个集合内个数之比较，即基准量乘法因子全部个数，如小美有4个红豆饼，小玉是她
4、的6倍，请问小玉有几个红豆饼？按照大辞海（数理化力学卷）的注释：“乘法，数学基本运算之一。最简单的是自然数的乘法，可以理解为把一个自然数扩大若干倍的运算，如37可以看作把3扩大7倍”。这里对乘法的解释实际上可以理解为第四种解释，用来解释分数的乘法也是便于理解的，如，我可以解释为的5倍，或者把5缩小到原来的（实际上就是5的）。另外，按照J.L.MARTIN编著的教与学的新方法（史静寰审译，北京师范大学出版社，2004年出版）：“乘法的意义还可以解释为这样一种方法，这种方法包含两个活动（每一个活动都产生一个集合）。用它来解释我们的例子53：首先做一个数目为5的集合，然后做三个这样的集合.第二步运用
5、了第一步的结果。换句话说就是做一个含有三个数目为5的集合的集合。（这种方法有时叫做集合的集合）。儿童最好成组活动。每一个孩子可以做第一个活动即做一个集合，然后将他们的集合放在一起就完成了第二个活动。同时也可以认为是五的三倍。”这种方法适用于所有正数乘法的解释。例如，很难想成是四分之三个二分之一相加，但是可以认为是先取四分之三再取它的二分之一。关于乘法的以上解释，问题并不是哪一种解释是正确的，更重要的是，对于一个数学概念，我们应该尽可能多地让学生认识到不同的解释，这对于发展学生的数学概念是非常有益的。特殊地对于运算，重要的是使学生理解运算的不同“原型”。这让我想到了小学数学教材中对一些数学概念的
6、处理。许多人一直质疑新世纪小学数学教材对一些数学概念未能给出严谨的文字定义。例如乘法的初步认识，教材的编排如图：教材由儿童乐园的具体情境,在计算相同加数连加的情境中抽象出乘法算式之后，并没有直接给出定义的严格叙述，而是使用描述性的方式：“4个2相加，也可以用乘法这样来表示”。这样的处理，一是希望学生结合具体情境来体会乘法运算的意义；另一方面，希望教师在教学中避免死扣定义而屏蔽了对运算本身多种原型的理解。正如上述所言，乘法意义的解释本身是意蕴丰富的，应该鼓励学生在具体情境中充分领悟运算的意义，让学生在后续的学习中充分丰富对乘法意义的理解。乘法运算教学中的建议那么我们应该如何让学生理解乘法意义的丰
7、富内涵呢？我想创设丰富的数学情境在此显得尤为重要。以美国加州教材（VAN DE WALLE: Elementary and middle school mathematics(sixth edition)）中提供的素材为例，教材用大量的素材反复向学生说明乘法的意义，教材中比较典型的素材如图：从无序摆放的六堆物体，到整齐摆放的六堆方块，到排放更紧凑到方块阵，到方格图，一直到线段图，学生对乘法意义的认识在逐步抽象和深化，虽然没有一个严谨的语言表述，但在学生建立了几乘几的丰富表象之后，对于乘法的理解就不再是一个抽象的符号了，而是与意义联系在了一起，这样对概念的理解是更充分和深入的。新世纪小学数学教材
8、在乘法的编写上也始终把理解乘法的意义看作乘法学习的关键,教材在乘法符号出现之前就安排了大量的数数活动,如数熊猫,数圆片,数苹果等，在这样的操作活动中，学生既能充分认识到乘法与生活的联系，也能通过发展学生几个几个数数的技能中，让学生建立起对数的乘法的直觉。在引入乘法的符号之后，教材又安排了丰富的情境拓展学生对乘法意义的理解，如 教材的编排给学生理解乘法的意义提供了多样的具体情境，如结合情境1,可以让学生体会到27可以解释为两个7相加，也可以解释为7的2倍，也可以看作先取7个，再取7个放在一起的集合等等。特别是一些情境（如最后的情境），可以在学生分组合作活动的过程中，让他们体验到乘法就是“你摆2个
9、，我摆两个，他摆两个，然后把大家的都放到一起”这样一种集合的集合的思想。另外，新世纪小学数学在六下的总复习中，再次对运算的多种原型进行了总结：如乘法可以作为相同加数的和、面积计算、倍数（包括几分之几）等的模型。为了使学生从整体上把握数的运算的内容，教材把整数、分数和小数的运算融合在一起，进行回顾与整理。分数乘法教学，给教师们的几点建议1.与整数乘法的意义一样,分数乘法的意义的教学也要结合具体的情境。单独一个乘法算式,既可以说成是5个,也可以理解成5的,反过来, 5个,既可以用表示,也可以用5表示。所以新世纪教材把分数乘整数和整数乘以一个分数都称为分数乘法。但是由于分数乘法的意义比整数乘法意义要
10、复杂，在不同的情境中，对分数乘法的解释会有所区别：如在“1个粘贴画占整个图形的，3个占这个图形的几分之几？”，3解释为3个比较好理解；而在”我有3个苹果,小红的苹果数是我的” 这个情境中,3的一个比较好的解释就是3的。所以教材在分数乘法这一部分,分为分数乘法(一),分数乘法(二),以及分数乘法(三)：如分数乘法（一）如分数乘法（二）分数乘法（三）教材希望通过具体情境,来呈现对分数乘法意义的多种解释,帮助学生理解分数乘法的意义。2.结合具体的学具来让学生理解分数乘法的意义也是必要的。仍以美国加州教材为例，在解释分数的意义时，教材呈现了如下的形式： （1），使用一个含有8个量的集合来作为8的模型。
11、里有6个这样的量，因此在里有4个这样的量。（2）2，使用一个作为整体。在每个整体中取，2个等于或（3），从中取，4的是3，所以的是， 3.分数教学中一定要让学生充分经历分数的定义和发现过程。学生在理解 的意义时，可以想成： 的 ,或者是取五分之四然后取这个的四分之三。要顺利达成这一认识，学生首先要意识到、这些符号是平分物体的行为，这就要求学生在学习分数的认识时必须要充分体验将具体材料分成相等部分然后形成分数的行为。因此，在出现分数符号之前，新世纪小学数学教材安排了大量的内容在分数的定义和发现上是有深远的意义的，教师在分数认识教学时要充分认识到教材编写的意图，这样在分数乘法的教学中才会进展顺利。
