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1、北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇编整理 北京市二十中学 王云松2012-6-7代几综合题，往往是在二次函数背景下的对动点、动直线的位置及数量关系以及常见几何图形的存在性的研究，对学生的思维水平提出了更高的要求，要求学生具有较强的运算能力、作图能力、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等综合能力。其掌握程度的高低直接决定学生能否达优。【海淀】24. 如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A, 顶点为B, 且对称轴与x轴交于点C. （1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)； （2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式
2、； （3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标.CAOBxyCAOBxy 备用图【参考答案】24.解：（1）， 抛物线的顶点B的坐标为. 1分（2）令，解得, . 抛物线与x轴负半轴交于点A， A (m, 0), 且m0. 2分 过点D作DFx轴于F.由 D为BO中点，DF/BC, 可得CF=FO= DF =由抛物线的对称性得 AC = OC. AF : AO=3 : 4. DF /EO, AFDAOE. 由E (0, 2)，B，得OE=2, DF=. m = -6. 抛物线的解析
3、式为. 3分（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB的解析式为,直线BC为. 作点C关于直线BO的对称点C (0，3)，连接AC 交BO于M，则M即为所求.由A（-6，0），C (0, 3)，可得直线AC的解析式为.由 解得 点M的坐标为(-2, 2). 4分由点P在抛物线上，设P (t，). ()当AM为所求平行四边形的一边时.j如右图，过M作MG x轴于G, 过P1作P1H BC于H, 则xG= xM =-2, xH= xB =-3.由四边形AM P1Q1为平行四边形，可证AMGP1Q1H . 可得P1H= AG=4. t -(-3)=4. t=
4、1. . 5分k如右图，同j方法可得 P2H=AG=4. -3- t =4. t=-7. . 6分()当AM为所求平行四边形的对角线时,如右图，过M作MHBC于H, 过P3作P3G x轴于G, 则xH= xB =-3，xG=t. 由四边形AP3MQ3为平行四边形，可证A P3GMQ3H .可得AG= MH =1. t -(-6)=1. t=-5. . 7分综上，点P的坐标为、.注在确定平行四边形时，如果知一边的两点坐标，可以用平移的方法，得到其对边的点的坐标，可使解答简捷。【西城】25在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为M，直线，点为轴上的一个动点，过点P作轴的垂线分别交抛物线和直线于点A
5、，点B. 直接写出A，B两点的坐标（用含的代数式表示）；设线段AB的长为，求关于的函数关系式及的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；(3)已知二次函数（，为整数且），对一切实数恒有，求，的值. 【参考答案】25解：(1)，. 2分图10(2) =AB=. =.3分 当时，取得最小值. 4分当取最小值时，线段OB与线段PM的位置关系和数量关系是OBPM且OB=PM. (如图10) 5分 (3) 对一切实数恒有 ， 对一切实数，都成立. () 当时，式化为 0. 整数的值为0. 6分 此时，对一切实数，都成立.() 即 对一切实数均成立. 由得 0 () 对一切实数均成立
6、. 由得整数的值为1. 7分此时由式得，对一切实数均成立. ()即0对一切实数均成立. ()当a=2时，此不等式化为0，不满足对一切实数均成立.当a2时， 0对一切实数均成立，() 由，得 0 1. 整数的值为1. 8分 整数，的值分别为，.注本题在确定待定系数的值时，反复运用了抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0，体现解一元二次不等式的数形结合思想。【东城】25如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与轴交于点，与轴交于A、B两点，点B的坐标为（1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点
7、的坐标；（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时的面积最大？最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标. 【参考答案】25解：（1）由题意，得： 解得：所以，所求二次函数的解析式为：2分 顶点D的坐标为（-1，4）.3分（2）易求四边形ACDB的面积为9. 可得直线BD的解析式为y=2x+6 设直线OM与直线BD 交于点E，则OBE的面积可以为3或6. 当时， 易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x.设M 点坐标（x，-x）， 4分 当时，同理可得M点坐标 M 点坐标为（-1，4）5分（3）连接，设P点的坐标为，因为点P在抛物线上，所以， 所以6分 7分 因为，所
8、以当时，. 的面积有最大值 8分所以当点P的坐标为时，的面积有最大值，且最大值为注第（3）问使用铅垂高的方法，也比较简捷：易得BC解析式为y=x+3，设过P与x轴垂线交直线BC于Q，可得Q（m,m+3）, 则铅垂高为，水平宽为3，易得面积 【朝阳】25. 在平面直角坐标系中，抛物线经过A（3,0）、B（4,0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BDBC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.（1）求该抛物线的解析式；（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；（3）该抛物线
9、的对称轴上是否存在一点M，使MQMA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【参考答案】25. 解：（1）抛物线经过A（3,0），B（4,0）两点， 解得所求抛物线的解析式为. 2分（2）如图，依题意知APt，连接DQ，由A（3,0），B（4,0），C（0,4），可得AC5，BC，AB7.BDBC，. 3分CD垂直平分PQ，QDDP，CDQ= CDP.BDBC，DCB= CDB.CDQ= DCB.DQBC. ADQABC.解得 . 4分.5分线段PQ被CD垂直平分时，t的值为. （3）设抛物线的对称轴与x轴交于点E.点A、B关于对称轴对称，连接BQ交该对称轴于点M.则，即. 6
10、分当BQAC时，BQ最小. 7分此时，EBM= ACO. .，解得.M（，）. 8分即在抛物线的对称轴上存在一点M（，），使得MQMA的值最小.注本题应特别注意，由对称点所产生的角分线，加上BC=BD可产生平行，即角分线、平行线、等腰知二求其一的基本模式。【石景山】25已知：抛物线yx22xm-2交y轴于点A（0，2m-7）与直线yx交于点B、C（B在右、C在左）（1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线
11、OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若PMQ与抛物线yx22xm-2有公共点，求t的取值范围备用图【参考答案】25.解：（1）点A（0，2m-7）代入yx22xm-2，得m=5抛物线的解析式为yx22x3 2分（2）由得，B（），C（）B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得 5分（3）当在抛物线上时，可得，当在抛物线上时，可得，舍去负值，所以t的取值范围是8分注第（2）问作对称点构造角等是关键。请梳理得角等的方法：如作平行线，构造等腰三角形，做辅助圆利用圆心角定理等。第（3）问可知OP=，所以 ，【延庆】25. 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A(4,2)，C(n,-2)（其中n0），点B在x轴的正半轴上动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿OABC的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动设点P移动的路径的长为l，POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形 （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=
