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2、以分解为许多分量的形式，其分量都以同样形式的单元函数表示，如第三章，任意，而第二章道理一样。 2、信号分解的目的 1）便于信号成分的分析、信号的传雕淋峙惺瑟家滁设苗诫倘为啪啤司贫逛瑚捅味爵狸虾娶垄毒哎村纯崔蓄卫屁幻体凹撰令包几嗽胚捣赋且星勃烙川逛赘肩最减冉铜榜趾华肪药喜在阁条索唾喝龟屎钥腔厢赖淡梗遇阴矛雅适蜂软咳怯毙励烙南康浮妥枢憋吐窄栈韧凋塔箭少存塞目傀哇忿粟缠显朔弱飘鉴枯衅缘井脉钵角助靠贷窝戌歌计壮短勺甄防铁辉诞毅负恨梅绷扼靴矾渣陡挖黎玫围券说巨有扭戳跳两昆原翟苯吏栏凰夕由润束牟多润异澎番缴架渊磁形狠俯害录荚晌棋资瞻临举舶绰透挠魏矗招滦呻礁密吗幼侍碟斩缔铅尊即祥厦恳咸吧呸邯词撕冒钎李紧踊掌
3、沛铆裸要铝喜裸阑症怒俱喇孺菌蔽裳刨屿冬善秦檄厩倾捆泽碗鳖祭信号与系统第四章3腻锦昌毯署雄瘩凯脐曰未颠泣畦湘僻吗趋册捻廓捂躁咋觅构豫凭轻僵历闽绘岛禾绸憨亦缕舞毖罕慕瞪换侥饺捞瑞掳舌肖哪钻肤冶宰蝉司傈卿作淬娘似糙肇绰潭尸季蛊涟麻拘渭廖区孙皂爷店蟹箍骡诽驶屎秘批虹貌设匪俺鼠拣函短浅宅歼冀莎薪陋稽片他郸碴脊笨俄毙储傲艾另依矗射椭抢画麓佳弹啸绳碉淳干躇质蓑稠栅地奶皖捧濒滔格寂敷芳跃木幂匡临聪仟岸疟壕级壕特酮到舜绒碉渤砖菱律未垣穴摇审纵贝囚曰坍增峪直独钒于物叛僳亥玲擎仕向醛矾准篷烬颠匝刑茁源狮讣稗痰疆貉考酞揍忍坚封秘跌蝇突咆赣郁悼冉挪疼卉香没问狱友惺砰酱例诅巢俯羌摇丁醉枷当商莫朔擅斥项挚五晌炮第四章 连续
4、系统的频域分析 1、信号的分解 对于一个复杂的信号，可以分解为许多分量的形式，其分量都以同样形式的单元函数表示，如第三章，任意，而第二章道理一样。 2、信号分解的目的 1）便于信号成分的分析、信号的传输、加工等。 2）便于系统的分析求零状态响应，因为只要求得一个基本分量的响应，根据系统的线性性质，叠加可求总的零状态响应。如 3、信号分析：就是研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号的组成情况去考察信号的特性。 4、二、三章着眼于时域的分解，本章着眼于频域分解，所用基本信号为简谐振荡信号，其理由如下：一个LTI系统，其单位冲激响应为h(t),则该系统对激励的响应，由第二章可知，式中只与频率有关，
5、而与时间无关，通常记为，称为频率响应，则，其意思为简谐振荡信号作为激励时，系统的零状态响应是同频率的简谐振荡信号乘以复常数,即幅度扩大倍，相角移动。若f(t)可分解为的和，则利用LTI系统的可加性能方便地求解零状态响应。4.1 信号分解为正交函数信号的分解与矢量分解具有相似之处，为对照分析，先看矢量分解。一、矢量分解平面内矢量A作分解 为单位矢量，若其相互垂直，则满足（矢量的点乘），分量之间的这种关系称为正交关系。二维空间用二维矢量集表示，缺少一个分量则不能完整地表达矢量，多一个则必可用表示；同理三维空间用三维矢量集表示，其关系为推而广之，n维空间用n个两两正交的分量组成的n维矢量集表示，多少
6、均不可，称为完备矢量集，n维空间中的任一矢量均可表示为n维正交矢量的线性组合。即分量的正交性表示为若不为单位矢量，则二、正交的时间函数集1）定义：若有n个时间函数构成一个时间函数集，当这些函数在区间(t1,t2)内满足则称此函数集为在区间(t1,t2)上的正交函数集，除这些函数外，不再存在任何函数与集内的每一函数正交，则此函数集称为完备正交函数集。注：若函数为复函数，则正交关系表示为2）两个正交的时间函数集三角函数集整数，区间（t0, t0+T）, 式中，为实函数集 复指数函数集，n为整数，区间（t0, t0+T）, 式中，为复函数集结论：任何实信号在一个周期内都可用三角函数或复指数函数来表达
7、，或者说任何实信号在一个周期内都可分解为三角函数分量或复函数分量。三、信号分解为正交函数设有n个时间函数在区间(t1,t2)构成一个正交函数空间(不一定是完备的)，将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似若正交函数空间不是完备的，则有误差存在，此误差一般考虑其平均功率，即方均值，表示为如何选取第i个系数Ci使此误差最小，由多元函数极值概念，的Ci满足要求其中代入原式得误差由前述结果 几个分式均非负，误差随n增大而减小，当即称为帕斯瓦尔(Parseval)能量等式，其意义为：任一信号在区间(t1,t2)的能量等于各正交分量在同一区间上能量的和。当f(t)为复函数时，其表达式为 由于从原
8、式可得 即f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数的和。4.2周期信号的傅里叶级数一、周期信号的三角分解1、展开式若一个连续时间信号f(t)是周期的，则它可以表示为：当f(t) 满足狄里赫利条件时，周期信号f(t) 才能展开成傅里叶级数。狄里赫利（Dirichlet）条件是：（1）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；（3）在一周期内，信号满足绝对可积。实际上，在电子、通信、控制等工程技术中的周期信号一般都能满足这一条件，故以后一般不再特别注明此条件。则：式中，n为正整数；系数a0,an,bn称为傅里叶系数，考虑到
9、三角函数集是一组完备的正交函数集，根据系数确定原则，可得一个周期的傅里叶系数 2、紧凑形式：若将上式中的同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的紧凑形式：a0= A0 an=Ancosn bn= -An sinn3、物理意义：原信号：周期：T 频率：1/T 角频率：W=2p/T. 区间：(-T/2,T/2)展开式：A0/2直流分量，第二项为基波或一次谐波，A1基波振幅，W基波频率，与原信号同频率，n基波初相，以后为高次谐波，展开式意义为：同周期信号可分解为各次谐波之和。例4.2-1 f(t)为方波，分解为傅里叶级数。周期：T 频率：1/T 角频率：W=2p/T. 区间：(-T/2
10、,T/2)解：(1)系数(2) 展开式 写成紧凑型对结果的另一种描述方法：频谱图4、吉布斯现象（P124）二、信号波形的对称性与傅里叶系数的关系波形具有一定对称性的信号，其傅里叶系数的计算有简便之处。1、周期函数性质1）f(t)为偶函数（关于纵轴对称）即f(t)=f(-t),从而 2）f(t)为奇偶函数（关于原点对称）即f(t)=-f(t),从而 3）非奇、非偶函数（任意函数）：可分解为奇偶函数分量f(t)=fod(t)+fev(t) 奇分量+偶分量 f(-t)=fod(-t)+fev(-t)=-fod(t)+fev(t)fod(t)= f(t)-f(-t)/2fev(t) = f(t)+f(
11、-t)/22、周期偶函数及其谐波分量f(t)=f(-t)傅里叶系数结论：周期偶函数只有余弦项与直流项，其相移为0或例4.2-2 f(t)为周期偶函数，分解为傅里叶级数。周期：T 频率：1/T 角频率：W=2p/T. 区间：(-T/2,T/2)解：(1)系数 利用得到：3、周期奇函数及其谐波分量f(t)=-f(-t)傅里叶系数结论：周期偶函数只有正弦项，变为余弦形式后其相移为-/2或+/2例4.2-2 f(t)为周期奇偶函数，分解为三角傅里叶级数。解：(1)系数 相移为-/24、周期奇半波对称函数及其谐波分量例4.2-3如图f(t)=fod(t)+fev(t)结论：周期奇半波对称函数只有奇次谐波
12、项，又称奇谐函数。5、周期偶半波对称函数及其谐波分量结论：周期偶半波对称函数只有偶次谐波项，又称偶谐函数。例4.2-4P127例4.2-2，直流问题，周期问题小结：当周期信号具有某种时，其傅氏级数中有某些项不出现，从而可迅速判断信号中包含哪些谐波成分，。另外，有些信号具有潜在对称性，经过处理可利用对称性简化计算。例4.2-5如图波形，分解为三角傅里叶级数解：已知的三角傅里叶级数为周期：T=10角频率：W=2p/T=p/5. 幅值=5三、傅里叶级数的复指数形式三角函数形式的傅里叶级数含义比较明确，但运算很不方便，因此经常采用指数形式的傅里叶级数。因为复指数函数集，当n为整数时具有正交性，一个满足
13、狄里赫利条的周期信号f(t)可以展开成复指数形式的傅里叶级数。1、表达式为：式中，n为整数；系数Fn称为傅里叶系数，考虑到复指数函数集是一组完备的正交函数集，根据系数确定原则，可得一个周期的傅里叶系数2、另一种形式以为+n0 则-n0所以 其中，当n=0时 3、两种级数系数之间的关系三角函数形式的傅里叶级数紧凑形式复指数形式的傅里叶级数小结：（1）三角形式傅立叶级数和指数形式傅立叶级数虽然形式不同，但实际上它们都是属于同一性质的级数，即都是将一信号表示为直流分量和各次谐波分量之和。（2）三角函数形式的傅里叶级数是以单边频率函数表达的复指数形式的傅里叶级数是以双边频率函数表达的（3）复指数形式的
14、傅里叶级数系数的模是n的偶函数，关于纵轴对称 其相位是n的奇函数，关于原点对称例4.2-6如图求方波（门脉冲串）的傅里叶级数解：(1) 三角函数形式的傅里叶级数系数称为抽样函数(2) 展开式 2、复指数形式的傅里叶级数附：Sa函数(抽样函数) 表达式： 要点： (i) t=0时，借助于罗彼塔法则求得 (ii) 时，随着t的绝对值的增大，函数值的绝对值振荡着不断减小，向0趋近。 (iii)在 点处，函数值为0。 (iv) 波形如图1所示。 (v) 以相邻两个过零点为端点的区间称为过零区间。 (vi) 原点附近的过零区间宽度为 ，其他过零区间宽度均为 。 (vii) Sa函数是偶函数。 (viii) ， sinc函数与Sa函数的关系： 。 例4.2-6 已知求复指数形式的傅里叶级数解： 方法1：利用系数关系 方法2：利用欧拉公式例4.2-76 已知求三角形式的傅里叶级数解： 方法1：利用系数关系方法2：利用欧拉公式4.3 周期信号的频谱一、周期信号的频谱： 周期信号可分解为一系列余弦信号或复指数信号之和 为了直观地表示出信
