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1、以下是六套近年的统考题，仅供参考试卷(一):一 填空题(每小题 4 分，共 20 分)1 0 0、1. 已知正交矩阵 P 使得 PTAP = 0 -10 ,则 Pt A 2006( E + A) P 二. 00 - 对矩阵 A施行一次行变换相当于().mxnA.左乘一个m阶初等矩阵B.右乘一个m阶初等矩阵C.左乘一个n阶初等矩阵D.右乘一个n阶初等矩阵 若 A 为 m x n 矩阵，r(A)二 r n, M = I AX 二 0, X e Rn | 贝I().A. M是m维向量空间B. M是n维向量空间C. M是m - r维向量空间 D. M是n - r维向量空间4. 若n阶方阵A满足，A 2
2、二0,则下列命题哪一个成立(). 丿2设A为n阶方阵，九，,九为A的n个特征值，则det( A 2)二.1n3. 设A是mxn矩阵，B是m维列向量，则方程组AX = B有无数多个解的充分必要条件是： .4若向量组a = (0,4,2)t , B = (2,3,1)t ,丫 = (t,2,3)t 的秩为 2,则 t 二.15115. D(x)二x52-3 ,x 2549X 358-27则D(x)二0的全部根为:选择题 (每小题4分，共20分)00-11.行列式0 -10的值为()-100A.1B.-1n ( n 1 )n (n+1)C.(-1) 2D.(-1) 2A. r (A) = 02C.
3、r(A) 22D. r (A) 25.若A是2阶正交矩阵，则下列命题哪一个不成立（).A.矩阵At为正交矩阵B.矩阵A-1为正交矩阵C.矩阵A的行列式是土 1 D.矩阵A的特征值是土 1. 解下列各题（每小题 6分， 共 30 分）1. 若 A 为 3 阶正交矩阵，A*为A的伴随矩阵，求det（A*）.a11112.计算行列式a1111a1111a(0 20、3. 设 A 二 2 0 0 , AB = A - B,求矩阵 B.0 0 1 丿4. 求向量组 a = (1,2,1,2)T, a = (l,o,l,2)T, a = (1,1,0,0)t, a = (1,1,2,4)t 的一个1234
4、最大无关组.5. 求向量o = (1,2,1)t 在基a = (1,1,1)t, p = (0,1,1)t, 丫 = (1,-1,1)t 下的坐标.四. (12分) 求方程组x + x 一 2 x + x + x = 212345 3 x 一 x + 2 x + 7 x + 3 x = 212345x + 5x 一 10x 一 3x + x = 612345的通解(用基础解系与特解表示).五. (12 分) 用正交变换化下列二次型为标准型， 并写出正交变换矩阵f (x , x , x ) = 2 x x + x 2 + x 2 一 2 x x1231 2231 3六. 证明题(6 分)设pH
5、0, g , g，g是线性方程组AX =卩对应的齐次线性方程组的一个12 r基础解系，耳是线性方程组AX = p的一个解，求证g +n, g +, g +n ,n 线性无关.12r试卷（二）： 一计算下列各题：(每小题 6 分，共 30 分)162 379 225(1) 162 380 176,162 380 180 (2 -1、(2) 求2A2 + 3A + E ,其中 A 二2 11 3 丿(3) 已知向量组a 二(0,2,3)t,a 二(2,3,3)t,a 二(1,2,t)t线性相关，求t.123(4) 求向量 a= (-1,2,4)t 在基 a 二(1,0,1)t,a 二(0,1,1)
6、t,a 二(1,-2,1)t 下的123 坐标.(1 2、(5) 设A二 ,求A的特征值.13 5丿0 31、二.(8 分)设 A 二 2 0 0，且 AB 二 At + B,求矩阵 B.(0 02丿123a三. (8分)计算行列式:00b30c02x001四. (8分)设有向量组a = (0,1,1,2,3)t ,a = (1,0,1,2,5)t ,a = (1,1,0,-2,-7)T,a = (3,3,2,0,-6)T,1234求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.3x + 2x 一 x + x 一 4x = 10,
7、12345 2x 一 x + 3x 一 x + x = 4,123457x + 5x 一 x 一 2x = 18.1345六. (8分)求出把二次型f = a(x 2 + x 2 + x 2) + 2x x + 2x x -2x x化为标准1231 21 32 3形的正交变换，并求出使f为正定时参数a的取值范围.七. （10 分） 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 3（二重根）、4（一重根），a二（1,2,2）t是A的属于特征值4的一个特征向量，求A.1八. （10分）当a,b为何值时,方程组ax + x + x = 4,123 x + 2bx + 3x = 10,123x + 3bx + 3
8、x = 2,123有惟一解、无穷多解、无解?九（10 分） （每小题 5 分， 共 10 分） 证明下列各题（1）设A是可逆矩阵，AB,证明B也可逆，且A-i B-1. 设a,卩是非零nx 1向量，证明a是nxn矩阵邮t的特征向量.试卷（三）:一. 填空题（共20分）1. 设A是mxn矩阵，B是m维列向量，则方程组AX = B有唯一解的充分必 要条件是：2. 已知E为单位矩阵，若可逆矩阵P使得2P-1AP + P-1A2P二3E,则当E - A可逆时，A3二3. 若 t 为实数，则向量组a =（0，4，t）, p =（2，3，1），y = （t, 2，3+t）的秩为 :4. 若A为2009阶正
9、交矩阵，A*为A的伴随矩阵，则|a * =5. 设A为n阶方阵，九,九,九是A的n个特征根，则九iE - Ai =12nii =1二. 选择题（共20分）1.如果将单位矩阵E的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为P（j,i（k）,将矩阵A 的第i列乘k加到第j列相当于把A：mxnA，左乘一个P(i, j(k); B,右乘一个P(i, j(k);C.左乘一个 P(j,i(k); D,右乘一个 P(j,i(k).2.若A为m X n矩阵，B是m维非零列向量，r(A) = r minm, n。集合M = X : AX = B, X e R ,则A, M是m维向量空间，C, M 是 m-r 维向量空间B，
10、 M 是 n-r 维向量空间D， A， B， C 都不对B，若n阶方阵A满足A2 + 3A = 4E，则以下命题哪一个成立A， A = E，B，r(A)二 r(E)C. det A = det E，D，r(A + E) + r(A 一 E) nC，若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：A，矩阵A* A-1为正交矩阵，B，矩阵2 A-1为正交矩阵C,矩阵A + A*为正交矩阵，D，矩阵A- A*为正交矩阵1 1 1-1 1 0 D，如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：1 0 0A, 2007，B， 2008C, 2009,D， 2000三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变.()(2) 实对称矩阵的特征值为实数.()(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例.()四. 解下列各题(每小题 8 分, 共 16分)1.在基a1,a2,a3二1下的坐标. b丿r i23n 213n2 设 A =231 n 2341丿计算 det Ar1110111、00101列向量组生成的子空间的一个标准正交基. 1)阶行列式-1, 那么 i+j-n 的值A,
