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1、导数的几何意义广大附中 施永红一作业讨论并由学生陈述：问题：1导数的本质是什么？ 2在高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态。 3圆面积是半径的函数，求圆在时的面积瞬时变化率，并解释此时圆面积的瞬时变化规律。 4球体积是半径的函数，问：球在时的体积瞬时变化率，并解释此时球体积的瞬时变化规律。参考答案：1导数的本质是函数在处的瞬时变化率，即： ，所以。运动员在时的瞬时速度为。这说明运动员在附近，正以大约的速率下落。 3 ，所以。这说明圆在的附近，面积正以大约的瞬时变化率增大。（思考，动画） =，所以。这说明球在的附近，体积正以大约的瞬
2、时变化率增大。（思考，动画） 二（一）引入：函数的思想中，数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。我们已经学习了导数的本质及其物理意义或者实际意义，我们不禁要问：导数的几何意义是什么？例如：上述的三个问题中，,的几何意义分别是什么？我们利用数形结合，画出函数的图像，看看通过函数的图像研究，能有什么新的体会。（二）转化：为了使研究更具有操作性，我们抛开问题的实际背景，从研究更简单的函数入手，这也是数学研究的常用方法。（三）问题与探索：求函数在处的导数，说说它的本质，并用数形结合的方法，探索的几何意义。所以的本质是函数在处的瞬时变化率是，即函数在的附近正以大约的瞬时变化率增大。画出函数的图像，从
3、图像上的哪几个点开始研究？APQB1MNB联想：定义从点.点入手。那么点,点的几何意义是什么？请在图形中体现体现出来。的几何意义是什么？请在图形中体现体现出来。填表，讨论，发言，展示。静态动态静态有关量几何意义A坐标的几何表示B坐标的几何表示点横坐标的差（自变量的增量）纵坐标的差割线的斜率割线（极限位置）即：切线动态切线的斜率切线的斜率（四）动画演示，阅读课本，小结：1 平均变化率在趋向于某一时刻的变化过程中，自变量的增量越来越小，能越过任意小的间隔，但始终不能为0，不然，我们就得不到平均变化率的值；平均变化率在图形中的几何意义是割线AB的斜率。当趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是，从
4、图形上看，当趋近于0时，点B沿曲线趋近于点A，割线绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线叫做此曲线在点A处的切线。于是当时，割线AB的斜率趋近于过点A的切线的斜率，即：切线的斜率还可以利用点斜式求出切线AD的方程：，即：。（展示学生作品）（五）训练：分别在函数，和的图像上，用图形来体现导数，的几何意义，并用数学语言表述出来。（展示学生作品）12 3 三学生继续动手： （一）在函数的图像中，请描述，比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？（二）请估计曲线在的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。函数的瞬时变化率反思，发现。1 导函数。 （探索作业求，）2 单调性：在某个区间上
5、，当单调递增；当单调递减。3 求出，验证你的结论。验证：（1）数据；（2）单调性。思考：1如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。有什么发现？0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率2下图是利用信息技术画出的函数的图像，请根据图像，估计时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？四小结：1知识结构： 基本初等函数导数公式 平均速度 瞬时速度（物理意义） 及导数运算法则平均变化率 瞬时变化率（导数本质） 导数 平均变化率 瞬时变化率（导数本质） 导数与函数单调性的关系 导数与极（最）值的关系2数学思想：运动变化的观点（以静态刻划动态），数形结合（函数思想）以直代曲（以近似求精确）（微积分思想方法）作业：习题3.1A5,6.B2,3.书上。探索作业1、求，2。用导数定义及单调性定义解释：在某个区间上，当单调递增；当单调递减。（参考：一般地，当单调递增；当单调递减。在某个区间上，（令所以，）或在此区间上单调递增。）1
