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1、1.1一元二次方程【教材分析】一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。【教学目标】1、 理解一元二次方程的概念，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（0）并知道各项及其系数。2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程
2、）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的进一步认识。【教学重点与难点】理解一元二次方程的概念及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。【教法、学法】因为学生已经学习了一元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景-数学模型-概念归纳”的模式。本节课借助多媒体辅助教学，指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。【教学过程】一、复习旧知，类比新知1
3、、一元一次方程的概念像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的次数是1(一次)的方程叫做一元一次方程2、一般形式：是常数且设计意图：复习一元一次方程，让学生回忆起一元一次方程的概念，回忆起“项”及“系数”的概念，通过类比，让学生能更好的理解一元二次方程的概念。二、生活情境，自主学习（1）正方形桌面的面积是2m，设正方形桌面的边长是x m，可得方程 (2）矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m2，设花圃的宽是 x m则花圃的长是 m，可得方程 （3）一张面积是600cm2的长方形纸片，把它的一边剪短10cm，恰好得到一个正方形。设这个
4、正方形的边长是 x cm，可得方程 （4）长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m，设梯子的底端到墙面的距离是x m，可得方程 设计意图：因为数学来源与生活，所以以学生的实际生活背景为素材创设情景，易于被学生接受、感知。让学生从实际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的空间概念和抽象能力。情景分析中学生自然会想到用方程来解决问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的求知欲望，顺利地进入新课。三、探究学习：1、概念得出讨论交流：以上所列方程有哪些共同特征？设计意图：英国一位著名的数学教育心理学家曾说：概念的教学要从大量实例出发，通过实例帮助完成定义，而不是教
5、定义。让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的.2、巩固概念下列方程中那些是一元二次方程。设计意图：这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中3个特征的理解.题目的设置,目的在于进一步加深学生对定义的掌握,提高学生对变式的理解能力.此环节采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性.3、一元二次方程的一般形式： 设计意图：此环节让学生通过自主探究,类比一元一次方程一般形式,得出一元二次方程一般形式和项,系数的概念,从而达到真正理解并掌握的目的.4.典型例题例 将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 设计
6、意图：此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解。5.巩固练习把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项设计意图：此题设置的目的在于加深学生对一般形式的理解6、拓展应用（1）、若 是关于x的一元二次方程，则（ ）A、p为任意实数 B、p=0 C、p0 D、p=0或1（2）、若关于x的方程mx-2x+1=2x（x-1）是一元二次方程，那么m的取值范围是 （3）、若方程 是关于x的一元二次方程，则m的值为 设计意图：此题让学生进行思考，讨论，让学生进行讲解，教师作适当归纳，可留疑，让学生课下思考。此题需进行分类讨论，开拓学生思维，体现数学的严谨性。7.课堂小结设
7、计意图：小结反思中，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。【课后作业】1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。（1） （2） （3） （4）2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1） （2）（x-2）(x+3)=8 （3）3、方程（2a4）x 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程4、已知关于x的一元二次方程(m-1)x+3x-5m+4=0有一根为2，求m。设计意图：分层次布置作业，尊重学生的个体差异，激发学生学习积极性。【课
8、程资源】一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈
9、多写成的婆罗摩修正体系中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔花拉子米的代数学中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。我国九章算术勾股章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。
