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1、题目：透过不确定性原理看物理世界姓名：任丽行学 号：200800100103专业：物理学年 级：2008级指导老师： 宗福建山东大学物理学院二零一零年十二月透过不确定性原理看物理世界物理学院 2008 级 任丽行 学号：200800100103【摘要】不确定性原理由海森堡提出，表述了一个粒子的位置和动量不能被同时 确定的最小程度。当粒子的位置非常确定时，其动量将会非常不确定。由此可以 推广到许多对共轭物理量之间。不确定性原理是量子力学几率解释和波粒二象性 的必然结果。在量子力学的发展史上，不确定性原理起到了极为重要的推动作用， 尤其是玻尔与爱因斯坦两位物理学大师关于海森堡关系的争论，更是为相对
2、论量 子力学的发展奠定了基础。【关键词】不确定性；海森堡；波粒二象性；理想实验1. 引言本文主要研究了海森堡不确定性原理提出的背景、推理过程、后续的讨论与 发展，以及它对量子力学与整个物理学的发展所起的推动作用。文中主要涉及三 位物理学大师：海森堡、玻尔和爱因斯坦。由海森堡提出并论证的不确定性关系 是玻尔互补原理的最好证明。爱因斯坦通过设计一系列的理想实验企图反驳不确 定性原理，没想到反过来证明了不确定性原理的正确性。本文就是以不确定性原 理为主线，把它与互补原理及波粒二象性联系在一起，简单地讨论了它的涵义以 及量子力学的一些基本问题，从而透过不确定性原理来瞻仰近代物理学的发展历 程。2. 理
3、论背景不确定性原理又名“测不准原理”，英文名为“ Uncer tain ty principle”， 是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于 1927 年提出。不确定性 原理是指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。 位置工和动量：满足如下关系：Ax Ap -其中士是约化普朗克常数。类似的不确定性关系也存在于能量和时间，角动量和角度等许多对共轭物理量之间：上式中的与三是一对共轭物理量，此式表明二4与二三不能同时为零，二4=二表 明口具有确定值，此时二三一定不为零，即三不能被同时确定，这就是不确定 性原理的基本表述。不确定性原理是海森堡为了分析云雾室径迹而提出的
4、。海森堡认为，只有在 实验里能够观测到的物理量才有物理意义，才可以用理论描述其物理行为，即物 理理论只能以可被观测的量为前提。海森堡据此，从不连续性出发创立了矩阵力 学。他不考虑原子内部是否有电子轨道的存在，毅然离开在空间时间上的客观过 程，只用和光谱线相关的频率与振幅这两个直接可观测的量来组成原子内部电子 运动的力学量表示，从而找到了能综合原子光谱线的经验事实、确定原子稳定态 的量子条件，弥补了玻尔模型的不足。他计算出代表位置与动量的无限矩阵。玻 恩与约尔当研究了海森堡的位置与动量矩阵的性质后，得出下面的结论：xfp = xp px = ih由于把物理量看成是具有不连续性结构的矩阵，把量子跃
5、迁过程看成不能用 传统概念来描写的不连续性过程。因此，矩阵力学在形式上强调了原子可观测的 不连续性和粒子性的一面。但是，如果以不连续性为前提，就无法解释云雾室里 电子的连续轨迹问题。这个问题使海森堡陷入困境。他反复考虑，意识到关键 在于电子轨道的提法本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道， 而是水滴形成的雾迹， 水滴远比电子大， 所以人们也许只能观察到一系列电 子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。因此，在量子力学中，一个电 子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具 有某一速度。可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。 这就是海森堡对不确定性原理的
6、最初的思考。值得一提的是，爱因斯坦的一句箴言“理论决定我们能够观测什么”，对海森堡以后提出不确定性原理影响较大。3. 海森堡的推理在分析威尔逊云室时，海森堡所面临的问题包括两方面。一是在数学 推理上，一个粒子的位置和速度在给定时刻只能以有限的精确度被确定 吗？二是如果理论承认这样的不确定性，那么它同实验测量中可以获得的 最佳精确度是等价的吗？为了回答第一个问题，假设一个粒子的波函数是高斯函数：位置坐标的平均值为：二丿7工二川；由于高期函数是偶函数,则积分函数 WL :是奇函数，其在全坐标积分为零，即二。位置坐标的均方差为：= I _ ： .V-二川-接下来，通过傅里叶变换，将高斯函数_耳变换至
7、动量空间的波函数=壬m=厂亲匸处二二【二：由于积分函数是奇函数，故门二二。动量的标准差为丁 =匸；v心、口 - dv=t二厂:匚:PU齐T护听何巧学即J二.亍二一.亍。因此,宀三=三。这就是位置与动量的测不准关系。对于问题二的回答，海森堡设想了一个理想实验，即“射线显微镜实验”。我们可以对电子进行照明并在显微镜下观察它。根据有关分辨率的 光学定律，辐射的波长越短，则显微镜的精度越高，因而 厂射线显微镜可以 得到确定位置的最高精度。在电子位置被确定的那一刻，即光子被电子偏 转时，电子的动量会发生一个不连续的变化。光的波长越短，电子位置测 定得越精确；但是二;.，说明光子的动量很大，电子会被散射至
8、随机方 向，光子转移了一大部分不确定的动量给电子，导致电子的动量具有不确定性。 反之，波长很长的光子动量很小，散射不会大大地改变电子的动量。可是，我们 也只能大约地知道电子的位置，即电子的位置就有了极大的不确定性。海森伯的不确定原理得到了波尔的支持，但玻尔不同意他的推理方式， 认为他建立不确定原理所用的基本概念有问题。实际上，海森堡在解释不确定原理时，仅以单个粒子为例，而没有考虑到一个粒子系统各成员的位 置和动量的统计分布。他在分析厂射线显微镜时，把问题的原因归于康普顿 效应所引起的电子动量的不连续性变化，没有考虑到显微镜的有限孔径。 事实上，对射线显微镜的圆满分析，应从阿贝光学衍射理论的定理
9、出发：显微镜的分辨本领的表示式为上二匚，：訂 其中；:为所用光的波长，二为透镜 的直径在物点所张的角，如图1。在位置测量时，包含有一个不确定量一个波长为上，动量为门二的光子沿工方向射到一个 动量为宀电子上，则碰撞前的总动量为 ；. o对于 用显微镜能观察到的电子，光子必须被散射到角度二内的某个方向，即PA、PB分别为两个散射极端，对应的康普顿散射的波长分别为与七。因此，我们只考虑数量级，可用代替心与七，则被散射的光子的动量的工分量处于:与- f 一之间。用心、汪 分别表示在这两种极端的散射情况下电子动量的工分量，由动量守恒得：由于显微镜孔径的影响，我们无法精密判断光子究竟被散射到二内的哪个角度
10、，使得不能对碰撞后的粒子轨道作任何确定的预言，这是事情的关键所在。显然，n.。4. 不确定性原理的例证4.1 单缝衍射实验CD图 2 单缝衍射实验图 2 中 AB 为一个有狭缝的屏，狭缝 宽为:；，CD是荧光屏。动量为的粒子沿 y 方向穿过狭缝，打在 CD 上。粒子在此 过程中，坐标工的不确定程度为二工=二。粒子穿过狭缝前，宀二二，穿过狭缝时，粒子的儿发生改变。设由狭缝中心到第一级衍射极小的连线与y轴成二角，由衍射理论得:, atr =-衍射波主要集中在-二与-二之间的范围，所以动量宀的不确定范围是由德布罗意关系知：门二，则动量的不确定范围可写为二：。最 后，我们求得，“工丄。如果考虑次级衍射
11、，则宀的不确定范围就会更大，所以，我们有由此可知，狭缝越窄，粒子坐标工的不确定性就越小，则动量；的不确 定范围就越大。由于与亠.不能同时为零，所以粒子的坐标和动量也就 不能同时具有确定值。4.2 乳胶片乳胶片同威尔逊云室是两种常用的探测高能粒子径迹的仪器。理想的乳胶片由可被看作恒为静止的“重”原子构成。当一个动量为p匚 的粒子沿x方向射入时，如果其动能疋二超过“重”原子的电离能则重原子可被电离，而在乳胶片中造成一个斑点。用这种电离方法定位入 射粒子的精确度至少为重原子本身的线度：二工：，其中匚为波尔半径在重原子中，处于束缚态的电子的动量平均值为零：.A = 7，所以它在X方向上动量分量的均方差
12、为：=疵。其数量级可用下列方法估计。不难证明：我们可以得到重原子中处于束缚态的电子的动量的均方差根据动量守恒定理，当重原子电离时，入射粒子的动量损失至少为上述均方差。所以，在非弹性碰撞后，粒子的动量有一定的分散，此宽度只有当入射粒子的动量戸匚很大，且远超过重原子的电离能时，粒子才能在 乳胶片中显示出径迹。4.3 时间 -能量的不确定性海森堡从对 Stern-Gerlach 实验的分析中得出：原子穿过偏转场所需的时间二越长，能量测量的不确定性二三就越小。在测量某几个定态的能量时，偏转力的势能在原子束的宽度内的变化 不能大于这些定态的能量差二三，所以偏转力的最大值为亠三十 设粒子束的 角偏转为-、
13、，动量为儿其动量的变化量为；）。由冲量-动量守恒定律得因为至少等于决定原子束宽度的狭缝所引起的自然衍射角；：;，且引入 德布罗意关系二，我们得出贝U 二三二-。这是海森堡对时间 -能量的不确定关系的推导。关于时间 -能量不确定 关系的推导及其物理意义的解释一直是众说纷纭。时间在量子力学中不同 的意义：从认识论角度，时间是牛顿的绝对时间，是系统演化的参量，只 表示事件之间的顺承关系，与系统无关；从本体论来看，时间是一个动力 学变量，被包含在系统中；从语义学上来说，通过规范变换，找到与时间 对应的厄密算符。由于时间 -能量关系十分复杂， 这里不再详谈。5. 不确定性原理的严格推导经过矩阵力学与波动
14、力学的发展，现代量子力学已经把它们连成一个 体系，建立了一套比较完善的数学体系，并总结出了四大假设作为量子力 学的根基。接下来，我们就运用力学量算符及其一系列的运算严格地推导 出不确定性原理。量子力学的四个基本假定如下：1. 波函数的物理意义微观粒子具有波粒二象性，其运动状态由波函数描述；波函数的物理 意义由其模的平方给出，它表示t时刻，r处找到粒子的几率密度。2. 薛定谔方程微观粒子的运动状态由薛定谔方程决定：ae 2工二”,其中三亠-U iS二3. 力学量与力学量算符任一个力学量F都对应一个力学量算符匚该算符是厄密算符；力学量 算符的本征值就是该力学量的可能取值；当且仅当粒子处于力学量算符
15、的 本征态时，相应力学量的取值才有确定性。4. 力学量平均值力学量算符的本征波函数集是完备的，任一波函数亠均可用该完备集展 开；展开系数模的平方是粒子处于该本征态的几率；力学量在 e态的平均值 是:=二抚亠。对于力学量算符丄与任意波函数二，定义算符二丄=丄一 2 =丄-:乙丄二：, 则力学量仝的均方差值为1尸=2 = M 疔呵=（业（A -盯轲因为是厄密算符，而且是实数，所以亦是厄密算符。我们令 4 =一 亍二，贝Uy =（总-忑）单心-月）妙）=（%）同理，三二：.匕心；，其中二三=三一三:二。为了证明不确定性原理的关系，我们首先要证明 Schwerz 不等式。证 明过程如下。我们知道对于任一波函数有甘）主：。设f与g是两个波函数, 令二、=2 込，贝 u -、二一 I。（f,f）+站（创f）+几（几目）+仇m凸）三o令-三，-三一于，则上式变为也刀兽熔+煤以二(ffn l(M|S即二:；;，此式为 Schwerz 不等式。我们利用 S
