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1、福建省永春第一中学2023学年高三数学毕业班高考前适应性训练试题 理时间： 120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则（ ）A B C D2已知为虚数单位，则的值为（ ）A B C D3记为等差数列的前项和，公差，成等比数列，则（ ）A B C D4如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ） A B C D5. 若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）A B C D6错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。在 九章算术中有称为“羡除”的五面体体积的求法。现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相
2、平行的五面体，其三视图如右图所示，财该五面体的体积为（ ） A18 B22 C24 D28 7化简的结果是（ ） A. B. C. D. 8已知双曲线的右顶点为，右焦点为，是坐标系原点，过且与轴垂直的直线交双曲线的渐近线于两点，若四边形是菱形，则的离心率为（ ）A B C D9设，当取最小值时的的值为（ ） A B C D10. 下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为则（ ）A B 第10题图C D11已知函数（为自然对数的底数）在上有两个零点，则的范围是（ ）
3、A B C D12已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在中，则 14 的展开式中的系数为 （用数字填写答案）15在锐角ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围为 16已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则过点且与直线相切的圆的方程为 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17（本小题满分12分）已知数列中，前n项和为，若（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n
4、项和为18（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，在线段上，且.（1）证明：；（2）若，面面，求二面角的余弦值.19（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，是坐标原点.（1）若直线过点且，求直线的方程；（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点.20.（本小题满分12分）“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计
5、如下：当时，建立了与的两个回归模型：模型： ；模型：；当时，确定与满足的线性回归方程为：（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型、的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为亿元时的直接收益（附：刻画回归效果的相关指数，）（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于亿元时，国家给予公司补贴收益亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入亿元与亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式;）（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励
6、；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励万元求每台发动机获得奖励的数学期望（附：随机变量服从正态分布，则，） 21.（本小题满分12分）已知函数，.（1）求的单调区间；（2）若在上成立，求的取值范围. （二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线，曲线（为参数）.以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线与,的公共点分别为,，且，求的面积23.（本小题满分
7、10分）选修45：不等式选讲 已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求实数的取值范围永春一中高三年考前适应性训练（理科）数学（2023.05）理科数学2023学年参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案CADDACBBCDDD二、填空题 13 14 15 16 三、解答题（17）解：（1）在数列中，且，式式得：，数列以为首项，公差为1的等差数列， 3分当时，当时，也满足上式，数列的通项公式为. 6分（2） 由（1）知，则 - 得， 12分（18）解：（1）连接交于点，连接. 1分因为，所以，又因为，所以，所以， 3分又，所以 4分（2）过作于，因为
8、，所以是线段的中点.因为面面，面面，所以.连接，因为是等边三角形，是线段的中点，所以。如图以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标 6分不妨设，则，由，得，的中点， 7分设面的一个法向量为，则，即，取得 9分的一个法向量为，则 11分所以二面角的余弦值为. 12分 （19） 解：（1）法一：焦点，当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，此时，不符合题意，故直线的斜率存在. 1分设直线方程为与联立得，当时，方程只有一根，不符合题意，故.，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得， 4分所以方程为或 5分法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为，与联立得，设 2分由，
9、解得， 4分所以方程为或 5分（2）设，设直线方程为与联立得 6分由得，即 7分整理得，即整理得， 9分即，即 11分故直线方程为过定点 12分（20）解：（1）由表格中的数据，有，即 1分所以模型的小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好2分所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为（亿元）3分 （2）由已知可得：，所以4分，所以5分所以所以当亿元时，与满足的线性回归方程为：6分所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元所以技改造投入亿元时，公司的实际收益的更大7分（3）因为所以，8分因为，所以9分所以10分设每台发动机获得的奖励为（万元），则的分布列为：所以每台发动机获得奖励的数学期望为（万元）12分（21）解：（1）解：，当时，单调递增，当时，单调递减，故单调递增区间为，单调递减区间为 3分 （2）法一：由得，即令，则5分，在单调递增，又，所以有唯一的零点， 7分且当时，即，单调递减，当时，即，单调递增，所以， 9分又因为所以 11分所以，的取值范围是 12分法二：由得，即5分令，因为，所以存在零点； 7分令，则，当时，单调递减，当时，单调递增. 所以， 10分所以，所以的取值范围是 12分（22）解：（1）， 直线的极坐标方程是 2分曲线的普通方程为，即 3分所以曲线的极坐标方程为 4分（2）将分别代入，得：， 6分 7分， 8分，
