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1、一线三等角 相似三角形判定的基本模型 A字型 X字型 反A字型 反8字型母子型 旋转型 双垂直 三垂直相似三角形判定的变化模型 一线三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化但是求证的方法不变。此规律需通过认真做题，细细体会。CADBEF典型例题【例1】如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当BD=
2、1，FC=3时，求BE CDEABF【例2】如图，等腰ABC中，AB=AC，D是BC中点，EDF=B，求证：BDEDFEABPCM【例3】如图，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使APM=B；（1）求证：ABPPCM；（2）设BP=x，CM=y求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域（3）当APM为等腰三角形时， 求PB的长ABCPQ【例4】（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的 定义域；（2）正方形的边长为（如图1
3、2），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.ABCD图12当时，写出线段的长（不需要计算过程，请直接写出结果）.ABC备用图点评：此题是典型的图形变式题，记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。【例5】已知：菱形ABCD,AB=4m, B=60,点P、Q分别从点B、C出发，沿线段BC、CD以1m/s的速度向终点C、D运动,运动时间为t秒（1）连接AP、AQ、PQ，试判断APQ的形状，并说明理由。（2）当t=1秒时，连接AC，与PQ相交于点
4、K.求AK的长。（3） 当t=2秒时，连接AP、PQ,将APQ逆时针旋转，使角的两边与AB、AD、AC分别交于点E、N、F，连接EF.若AN=1,求SEPF. 【应用】1.如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CBOA，OA=7，BC=1，AB=5，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合连接CP，过点P作PD交AB于点D（1）直接写出点B的坐标 （2）当点P在线段OA上运动时，使得CPD=OAB，且BD: AD=3:2 ，求点P的坐标2、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点 （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2求证：B
5、EPCPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足EPF=C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么 当点F在线段CD的延长线上时，设BP=，DF=，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；当时，求BP的长EDCBA（备用图）EDCBAP（第25题图）模型训练：ABCDE1. 如图，在ABC中，是边上的一个动点，点在边上，且(1) 求证：ABDDCE；(2) 如果，求与的函数解析式，并写出自变量的定义域；(3) 当点是的中点时，试说明ADE是什么三角形，并说明理由2. 已知：如图，在ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上又点F在边AC上，且(1) 求证：FC
6、EEBD；(2) 当点D在线段AB上运动时，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的长如果不可能请说明理由3. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一点，且BP=2，将一个大小与B相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P点转动，使角的两边始终分别与AB、AC相交，交点为D、E。（1）求证BPDCEP（2）是否存在这样的位置，PDE为直角三角形？CPEABD若存在，求出BD的长；若不存在，说明理由。ABCDEF4. 如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一个动点(与B、C不重合)，PEAB与E，PFBC交AC与F，设PC=x，记PE=，PF=CPEABF（1）
7、分别求、关于x的函数关系式（2）PEF能为直角三角形吗?若能，求出CP的长，若不能，请说明理由。5. 已知在等腰三角形中，是的中点， 是上的动点（不与、重合），连结，过点作射线，使，射线交射线于点，交射线于点.（1）求证：；（2）设.用含的代数式表示；求关于的函数解析式，并写出的定义域.CDABP6. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长（不必写出解题过程）
