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1、陕西省西安中学附属远程教育学校第二章 解三角形正弦定理教学目标：1.知识与技能：要求学生掌握正弦定理的内容及证明方法;能应用正弦定理解三角形，并能解决实际问题.2.过程与方法：通过正弦定理研究，学习到不同解决问题的方法，也掌握解三角形可以转化为不同的方式，从而进一步理解等价转化思想。3.情感、态度与价值观： 通过本节的学习，让学生进一步体会解直角三角形是解斜三角形特殊情况，应用解斜三角形，解决实际问题。教学重点: 正弦定理的证明及基本应用.教学难点: 1.正弦定理的探索和证明; 2.已知两边一对角解三角形时,判断解的个数.授课类型：新授课课时安排：3课时过程：第一课时 一、引入： 1.引言：台
2、风中心位于某沿海城市正东方向300千米处,正以40千米/ 小时的速度向西北方向移动,距离台风中心250千米范围内将会受到影响.如果台风风速不变,那么该城市从何时起要遭受台风影响?这种影响会持续多长时间? 这道实际问题涉及到了在三角形中的边角关系问题，即本章所要研究的解三角形问题.(引出课题) 2.直角三角形中的边角关系， 二、知识探究 1特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sinA= sinB= sinC=1 即： c= c= c= = 2能否推广到斜三角形？证法一：（面积法）在任意斜ABC当中：SABC=ACVBV 两边同除以即得：=ACVBV 证法二：（向量）证二：过A作单位向量垂直于+=
3、 两边同乘以单位向量 (+)=则：+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理：若过C作垂直于得： = =当ABC为钝角三角形时，设 A90 过A作单位向量垂直于向量三、 得出结论1. 解三角形 :一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的元 素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形2. 正弦定理在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即： =3. 三角形的面积公式四、 知识应用 分析:透过本题让学生认识到利用正弦定理可以解决已知两角和任意一边的三角形问题解： 由 得 由 得 例2.在.分析:在上一例题的基础上,本题进一步巩固利用正
4、弦定理可以解决已知两角和任意一边的三角形问题,并巩固新面积公式.五、 巩固练习 1.见课本47页练习1 六、小结 1. 解三角形 :一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形2. 正弦定理 在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，即： =3. 三角形的面积公式4.可以应用正弦定理解决已知两角和任意一边的三角形问题.正弦定理（第二课时）一. 复习回顾 1. 解三角形 : 一般地，把三角形的三个角A,B,C和它的对边a,b,c叫做三角形的元 素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 2. 正弦定理 在一个三角
5、形中,各边和它所对角的正弦比相等，即： =(适合于任何三角形) 3. 三角形的面积公式 4.可以应用正弦定理解决已知两角和任意一边的三角形问题.二. 正弦定理在解三角形中的应用从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。例1. 在解：例2、在ABC中，已知a=,b=,B=45,求A、C和c.解：B=4590且asinBba,ABC有两解.由正弦定理得sinA= =,则A为60或120.当A=60时，C=180-(A+B)=75,c=.当A=120时，C=180-(A+B)=15,c=.故在ABC中，A=60,
6、C=75,c=或A=120,C=15,c=. 三小结：已知a， b和A， 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时: 四. 正弦定理的实际应用 例3.台风中心位于某沿海城市正东方向300千米处,正以40千米/小时的 速度向西北方向移动,距离台风中心250千米范围内将会受到影响.如果台风风速不变,那么该城市从何时起要遭受台风影响?这种影响会持续多长时间? 分析:这是我们在引言中提到的问题,我们要掌握将实际问题转化为数学问题的能力 五.作业：1. ABC中，a=8,B=60,C=75,求b;2. ABC中，B=30,b=4,c=8,求C、A、a. 3.在ABC中，分别在下列条件
7、下求B和c.b20，A60，a20；b20，A60，a10；b20，A60，a15.正弦定理（第三课时）一复习回顾1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 = 2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 两角和任意一边，求其它两边和一角；两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。已知a， b和A， 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:二正弦定理的扩充(比值的几何意义) =2R （R为ABC外接圆半径） 分析 ： 如图所示，AD 同理 =2R，2R三 利用正弦定理进行边角互换 正弦定理的变式： 1.边的比等于对角正弦值的比：
8、2.设k， 则aksinA，bksinB，cksinC，（变换角）确切地为：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC(其中R为外接圆半径) sinA，sinB，sinC （角换边）例1、已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值.解：(这是角的关系)， (这是边的关系).于是，得例2.在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断这个三角形的形状.分析:尝试两种方法 练习、已知方程的两根之积等于两根之和，其中、为的两边，、为两内角，试判断这个三角形的形状。四、小结：1、正弦定理在三角形中的应用2、正弦定理的边角互换作用.正弦定理 第9页 共9页
