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1、矩 形例1 已知：如图4-26所示，ABC中，AB=AC，BAC=90，D为BC的中点，P为BC的延长线上一点，PE直线AB于点E，PF直线AC于点F求证：DEDF并且相等分析 如图4-26，由已知ADCD并且相等，而求证是DEDF并且相等，所以应该有ADECDF反之，如果证明了这两个三角形全等，问题也就解决了在ADE和CDF中，只要证明了AD=CD，AE=CF及EAD=FCD就可以了但这三个相等关系都容易证明证明 如图4-26所示，AD=CD由已知条件可知AEPF为矩形，所以AE=PF而由于PCF=45，CPF=45，所以PCF=CPF，所以PF=CF，这就有AE=CF最后EAD=135=F
2、CD，所以 ADECDF于是EDF=ADC=90，从而有DEDF并且相等例2 已知：如图4-27，ABCD为矩形，CEBD于点E，BAD的平分线与直线CE相交于点F求证：CA=CF分析一 如图4-27所示，由于CA，CF是CAF的两边，因此要证明CA=CF，可试证CFA=CAF由于CFBD，因此作AGBD于点G，则AGCF，从而CFA=FAG于是问题转化为证明FAG=CAF但已知AF是BAD的平分线，因此问题又转化为证明BAG=CAD但证明这两个角相等不会有什么困难了证法一 如图4-27所示，作AGBD于点G，BAG与ABD互余，CAD=ADB与ABD互余，所以CAD-BAG而AF平分BAD，
3、所以CAF=FAG由于AGCF，所以CFA=FAG，从而CFA=CAF所以CA=CF分析二 证明CFA=CAF还可以考虑用计算的方法进行设CAD=BDA=，则ACE=90-COD=90-2而CAF=DAF-CAD=45-所以 CFA=45-从而CFA=CAF问题解决了证明从略 4 菱形例1 已知：如图4-44所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H求证：四边形EFGH为矩形分析 证明四边形EFGH为矩形有几个方法而已知EFGH的对角线都通过AC，BD的交点O，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系
4、证明EFGH为矩形由于OEAB，OHAD，所以立即看出OE=OH这样EFGH明显是矩形了证明 如图4-44所示，由于OA平分A，并且OEAB，OHAD，由角平分线的性质知道OE=OH同理，OE=OF，OF=OG，OG=OH所以EFGH的对角线EG，FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形例2 已知：如图4-45所示，五边形ABCED中，AB=BC=CE=ED =DA，并且CED= 2AEB求证：四边形ABCD为菱形分析 在四边形ABCD中，已知AB=BC=AD，因此只要证明ABCD是平行四边形就可以了在ABCD中，已知AD=BC，因此只要证明了ADBC问题就解决了由于CED=2AEB，从而在A
5、EB内部作射线EF，使AEF=AED，同时也就有BEF=BEC而由于ED=DA，所以EAD=AED，从而AEF=EAD，这就有ADEF至此，问题已经解决了证明 如图4-45所示，由于CED=2AEB，所以AEB=AEDBEC因此可在AEB内部作射线EF，使AEF=AED，BEF=BEC而由于ED= DA，所以AED=EAD从而AEF=EAD这样ADEF同理BCEF，从而ADBC既然ADBC，又已知AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形而AB=BC，所以ABCD为菱形5 正方形 例1 已知：如图4-55所示，E是正方形ABCD内一点，且EAB=EBA=15求证：CDE为等边三角形分析一 在C
6、DE中，显然CE=DE，所以只要证明了CD=DE问题就解决了但直接证明CD=DE有困难，因此可改证DA=DEDA，DE是DAE的两条边，因此可证明DEA=DAE而证明这两个角相等也有困难，所以考虑加辅助线利用全等三角形证明由于ADE应该是30，而DAE=75，所以在DAE内取点F，使FDA=FAD=15，这就容易证明FDAFDE，问题得到解决证法一 如图4-55A，在DAE内部取点F，使FDA=FAD=15，连结线段EF在AEF中，FAE=60，AE=AF（为什么？），所以AEF为等边三角形，所以AF=EF又AFD=150，EFD=360-EFA-AFD=360-60-150=150，从而AF
7、D=EFD在FDA和FDE中，FD=FD，AF=EF，AFD=EFD，所以FDAFDE从而DA=DE于是DE=DA=CD，同理CE=CD，所以CDE为等边三角形分析二 本例也可以用一种间接的方法证明如图4-55B，先在正方形内作一等边三角形CDE，只要证明了CDE和CDE重合就可以了而要证这两个三角形重合，只需证明E与E重合，要证明这两个点重合，只需证明射线AE与射线AE重合，射线BE与射线BE重合，要证明这两组射线分别重合，只需证明BAE=ABE=15但这很容易证法二 如图4-55B，在正方形ABCD内作等边三角形CDE，连结线段AE，BE在DAE中，EDA=90- 60=30BAE=90-
8、7515，从而射线AE与射线AE重合同理，射线BE与射线BE重合，于是E与E重合这样，CDE与CDE重合，所以CDE是等边三角形点评 证法二的方法如下：当要证明某个图形具有某种性质而又不易直接证明时，可先作出具有该性质的图形，然后证明所作的图形与原图形重合，即是同一图形因而原图形具有该性质这种间接的证明方法叫做同一法例2 已知：如图4-56A，直线l通过正方形ABCD的顶点D平行于对角线AC，E为l上一点，EC=AC，并且EC与边AD相交于点F求证：AE=AF分析 如图4-56A，AE，AF是AEF的两边，因此要证明AE=AF，可考虑证明AEF=AFE由已知条件EC=AC，如果求出ACE的大小
9、显然问题就解决了在初等几何中见到的特殊角常是30，45，60的角从直观上看，ACE可能是30角作EH所以l上每个点到AC上引的垂线段都相等，所以题得到解决证明 如图4-56，作DOAC于点O，作EHAC于点H，则在ACE中，ACE=30，EC=AC，所以CEA=75，CAE=75而CAD=45，所以EAF=30，所以AFE=75这样，AEF=AFE（=75），从而AE=AF点评 本例中，点E与A位于BD同侧如图4-56B，点E与A位于BD异侧，直线EC与DA的延长线交于点F，这时仍有AE=AF请读者自己证明例3 已知：如图4-57，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的一点，并且EAF=
10、45求证：AEF的高线AH=AB分析 如图4-57，AH，AB分别是AHE和ABE的边，这两个三角形应该全等证明了它们全等，也就证明了AH=AB这两个三角形都是直角三角形，并且有一条公共边，证明它们全等还缺少一个条件应注意EAF=45恰是直角的一半，所以FADBAE=45是直角的一半如果把FAD绕顶点A旋转90到KAB的位置，那么新得到的AEK和AEF就各有一个45角，很容易证明这两个三角形全等，进一步就有AHEABE，问题得到解决证明 如图4-57，延长CB到K，令BK=DF连结线段AK，则ABKADF，所以BAK=DAF，从而EAKEABBAK45EAF在EAF和EAK中，AE=AE，AF
11、=AK，EAF= EAK，所以EAFEAK，所以AEF=AEK在AHE和ABE中，AEH=AEB，EHA= EBA=直角，AE为公共边，所以AHEABE，从而AH=AB 6判定正方形为什么不强调判定定理？答：在“四边形”这一章里，顺次学习了平行四边形、矩形、菱形的性质、判定定理，可是学到正方形时，书上就只有性质定理，而没有判定定理了是遗漏了吗？不！这是因为正方形的判定方法有多种多样先看看正方形与其他四边形的关系：要判定正方形，可以从平行四边形出发，证一组邻边相等且夹角为90；可以从矩形出发，证一组邻边相等；可以从菱形出发，证一角为直角等等；或者干脆从定义出发，都可进行判定只要搞清它们之间的关系
12、，看清题目中的条件，就不会感到束手无策例1 已知：正方形ABCD中，AE=BF=CG=DH 求证：四边形EFGH是正方形分析：这个图形是一种旋转型的图形，有四个直角三角形如果能证出其中两个全等，那么就能证得周边四个直角三角形全等，从而证得四边形EFGH的四条边相等，且各个角是直角，即能得到结论(证明略)例2 求证：矩形各内角平分线(对角的平分线不在一直线上)所围成的四边形EFGH是正方形分析：四边形ABCD是矩形，每个内角是90，加上内角平分线的条件，可以得到1=2=8=45，那么容易得到H、F、HEF和HGF是90，四边形EFGH已经是矩形了所以这题证明的最好方法是从证矩形出发再证一组邻边相等，即 可证得结论(证明略)例3 已知：在四边形ABCD中，AC=BD，ACBD，E、F、G、H分别是各边中点求证：四边形EFGH是正方形分析：若能注意到中位线的性质，那么可证得任意四边形中点连线围成一个平行四边形然后证它既具有矩形特点(即有一个角为直角)又具有菱形的一个特点(即相邻两边相等)，而由条件AC=BD，ACBD，即可证得EF=FG，EFG=90因此四边形EFGH是正方形(证明略)从以上举的几个例子，你是否觉得证明正方形的方法确实不少？练习：求证：以平行四边形的各边为边，向形外作正方形，这样所得的正方形的中心是另一个正方形的四个顶点
