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1、计数方法与技巧综合知识框架图7 计数综合7-6 计数方法与技巧综合7-6-1归纳法7-6-2整体法7-6-3对应法7-6-3-1图形中的对应关系7-6-3-2数字问题中的对应关系7-6-3-3对应与阶梯型标数法7-6-3-4不完全对应关系7-6-4递推法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法对这些计数方法与技巧要做到灵活运用例题精讲模块一、归纳法从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般
2、情况下的数量关系【例 1】 一条直线分一个平面为两部分两条直线最多分这个平面为四部分问5条直线最多分这个平面为多少部分?（6级）【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？（6级）【例 2】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？（8级）【例 3】 个三角形最多将平面分成几个部分？（8级）【例 4】 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？（8级）【例 5】 在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?（10级）【例 6】 在一个西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成多少片？（8级）【例 7】 在一大
3、块面包上切刀最多能将面包切成多少块（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）（10级）模块二、整体法解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系【例 8】 一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?（8级）【巩固】在三角形内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？（8级）【例 9】 在一个六边形纸片内有个点，
4、以这个点和六变形的个顶点为顶点的三角形，最多能剪出_个（8级）模块三、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式一、图形中的对应关系【例 10】 在88的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？（6级） 【例 11】 在88的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？（6级）【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？（6级） 【例 12】 图中可数出
5、的三角形的个数为 （8级）【例 13】 如图所示，在直线上有7个点，直线上有9个点以上的点为一个端点、上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在与之间的交点数（8级）二、数字问题中的对应关系【例 14】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？（8级）【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？（8级）【例 15】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？（8级）【例 16】 （2008年国际小学数学竞赛）请问至少出现一个
6、数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？（8级）三、对应与阶梯型标数法【例 17】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？（10级）【例 18】 （年第一届“学而思杯”五年级试题）学学和思思一起洗个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法（10级）【例 19】 (第七届走美试题)一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高
7、的次序排列，现在他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有 种不同排法（10级）【巩固】将112这12个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，共有多少种填法？（10级）四、不完全对应关系【例 20】 圆周上有12个点，其中一个点涂红，还有一个点涂了蓝色，其余10个点没有涂色，以这些点为顶点的凸多边形中，其顶点包含了红点及蓝点的多边形称为双色多边形；只包含红点(蓝点)的多边形称为红色(蓝色)多边形不包含红点及蓝点的称无色多边形试问，以这12个点为顶点的所有凸多边形(边数可以从三角形到
8、12边形)中，双色多边形的个数与无色多边形的个数，哪一种较多？多多少个？（8级）【例 21】 有一类各位数字各不相同的五位数，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大另有一类各位数字各不相同的五位数，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小请问符合要求的数与，哪一类的个数多？多多少？（10级）【例 22】 用1元，2元，5元，10元四种面值的纸币若干张(不一定要求每种都有)，组成99元有 种方法，组成101元有种方法，则 （10级）模块四、递推法对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的
9、数，这种方法称为递推法【例 1】 每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子，而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来如果一个人在一月份买了一对小兔子，那么十二月份的时候他共有多少对兔子？（6级）【例 2】 树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”这在生物学上称为“鲁德维格定律”那么十年后这棵树上有多少条树枝？（6级）【例 23】 一楼梯共10级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10级，共有多少种不同走法？（8级）【巩固】一楼梯
10、共10级，规定每步只能跨上一级或三级，要登上第10级，共有多少种不同走法？（8级）【例 24】 12的小长方形(横的竖的都行)覆盖210的方格网，共有多少种不同的盖法（8级）【例 25】 用的小长方形覆盖的方格网，共有多少种不同的盖法？（10级）【例 26】 有一堆火柴共12根，如果规定每次取13根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？（8级）【巩固】 一堆苹果共有8个，如果规定每次取13个，那么取完这堆苹果共有多少种不同取法？（8级）【例 27】 有10枚棋子，每次拿出2枚或3枚，要想将10枚棋子全部拿完，共有多少种不同的拿法？（8级）【例 3】 如下图，一只蜜蜂从处出发，回到家里处，每次只
11、能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？（8级）【巩固】小蜜蜂通过蜂巢房间，规定只能由小号房间进入大号房间问小蜜蜂由房间到达 房间有多少种方法？（8级）【例 28】 如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？（8级）【例 4】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到得数为1操作停止问经过9次操作变为1的数有多少个？（8级）【例 29】 有20个石子，一个人分若干次取，每次可以取1个，2个或3个，但是每次取完之后不能留下质数个，有多少种方法取完石子？（石子之间不作区分
12、，只考虑石子个数）（10级）【巩固】有20个相同的棋子，一个人分若干次取，每次可取1个，2个，3个或4个，但要求每次取之后留下的棋子数不是3或4的倍数，有种不同的方法取完这堆棋子. （10级）【例 30】 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？（10级）【巩固】五个人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过次传球后，球仍回到甲手中问：共有多少种传球方式？（10级）【例 31】 (2009年清华附中考题)设、为正八边形的相对顶点，顶点处有一只青蛙，除顶点外青蛙可以从正八边形的任一顶点跳
13、到其相邻两个顶点中任意一个，落到顶点时青蛙就停止跳动，则青蛙从顶点出发恰好跳次后落到的方法总数为 种（10级）【巩固】在正五边形上，一只青蛙从点开始跳动，它每次可以随意跳到相邻两个顶点中的一个上，一旦跳到点上就停止跳动青蛙在6次之内(含6次)跳到点有 种不同跳法（10级）【例 32】 (2006年“迎春杯”中年级组决赛)有6个木箱，编号为1，2，3，6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种（10级）【巩固】有10个木箱，编号为1，2，3，10，每个箱子有一把钥匙，10把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好先挖开1，2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把10把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共有 种（10级）7-6.计数方法与技巧综合.题库 学生版 page 1 of 3
