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1、“张奠宙谈小学数学本质”2009年第2期人民教育有一篇华东师大张奠宙教授与浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任唐彩斌关于小学“数学本质”的对话，仔细读过并作了认真思考，有如下收获。1、0为什么是自然数？0是自然数有许多理由。首先，人的经验是，从无到有。第二，更重要的是书写的需要，没有0，就写不出10，20，30，100。所以，0，1，29这10个数字是最基本的。第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能减了？从数学史看，在1、29等自然数形成之后很久人们才发明了0。0的意义极大，使十进位值制成为可能是其最大的价值，进而使四则运算极为简化。张
2、教授指出的第二、第三个理由都是从自然数公理系统角度来说的，即是说：只有把0包括在内，自然数系统才能具备严密的逻辑结构。请注意：和后文的几个问题一样，张教授始终强调从数学内部发展需要的角度看数学新知识的引入，而这正是当前我们数学教师的一个薄弱点。2、感受100万粒米有多大有没有必要？数学教学要关注的是100万这个数的结构。至于说100万粒米有多大，知不知道无所谓。主要精力要放在100万的结构，即如何形成100万上面。例如，我们可以设计这样的活动：从一个单位立方体出发，10个构成一排，10排构成一个正方形，10个正方形叠起来构成一个立方体，即1000。再以这个立方体作为新单位，10个一排构成万，1
3、0排形成新的正方形构成10万，最后，10个新正方形构成新的立方体，就是100万。这个过程是每个人都要弄明白的。这种做法的好处有二：第一了解十进位值制，第二发展空间想象能力。但说“100万粒米有多大知不知道无所谓”我不赞成：这是让学生感知“大数”的一种做法，而在现代社会感知“大数”是每个老百姓都应有的数学素养之一。3、分数究竟该如何定义？用份数的定义来引入分数是非常自然的。但这样说还没有体现引进分数的本质：分数是一个不同于自然数的新数。份数定义还停留在“几份”的思考上，还没有越出自然数的范围。1份，3份，是分数还是自然数？因此必须尽快过渡到分数的“商”定义：即分数是正整数a除以正整数b的商，记为
4、a/b。当除得尽时（整除），答案仍是“老朋友”自然数。关键在于除不尽的情况，这时得到的就是我们要结识的新朋友分数。这个概念我们现在注意得不够，而这恰恰是我们学习分数的本质所在。比如1/4，1除以4的商是多大呢？它一定比1小，却又比0大。我们可以在数射线（即数轴）上标出它的位置：它在0和1之间，这样一画，分数是“我们的新朋友”的特性就显示出来了。原来的自然数离散地分布在数射线上，现在的分数密密麻麻地填在射线上。商的分数的定义比份数的定义要深入一步，体现了引进分数的必要性。目前的教材只是说“分数和除法之间的关系”，未免不得要领。分数的第三个定义是比的定义：比和除，本来是一个问题的两个方面，用比的概
5、念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。（随后举例：对一个被分割为四等份且其中一份涂成黑色的圆，宽广的视野可以看出1/4、3/4、1/2、4/1、1/3、3/1等分数）我也希望老师们能把份数和比的定义联系起来思考。“分数的商定义”最大的必要性是：使数从自然数集扩大到非负有理数集。所以分数最重要的本质是“它是一个数”即“是一个数值”，它比自然数更能准确地刻画事物的“量”特性，实现数学“量化思想方法”的意义。正因为此，历史上人们才努力制定了分数的运算定义与运算规则，并使其内涵自然数的运算定义与运算规则。“分数的比定义”价值在于可用其定量研究两个以上事物在量方面的结构关系，实现数学“
6、结构化思想方法”的意义。如果只停留在“分数的份数定义”，不但局限了分数的价值，而且会给学生解决分数问题造成阻碍。4、什么是代数？代数的思想方法，其核心是基于含有x的“式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，实行对消和还原，是算术和代数的根本区别。小学学习逆向思维不要搞得太难。太多了，反而会干扰未来方程的学习。（指小学“简易方程”内容不要教的太难，这点我很赞成）5、小学几何内容为什么要增加？直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程之前，小学数学主要包括这两部分内容。后来增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说垂直、
7、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。我想小学数学当中，直观几何最根本的或者最核心的内容就是用平面来描述立体。空间图形平面化，通过平面图形想象空间物体是直观几何的重要内容。我认为：第一，对小学而言，最重要的还是直观几何与度量几何，演绎几何、坐标几何与运动几何不能要求太高，初知即可；第二，在直观几何中最重要的是在脑海里直接想象平面和空间图形（即不是张教授说的“通过平面图形”来想象），其次才是想象平面与空间图形的互换，但不能要求太高。6、什么是面积、体积？“物体表面或平面图形的大小叫面积”，“物体占有空间的大
8、小叫做物体的体积”这些只是对面积、体积的描述，不是严格的定义。因为总是先有面积、体积的定义，才能谈大小。人的概念有两种，一种就是生活中自然形成的，比如说面积、体积，大家都明白，不必给出严格的定义（那是大学数学课程的内容）。现在的教材上，把体积说成“占有空间的大小”，要学生记住，实在没有必要。事实上，要理解“空间”，比理解体积更困难，往往是越解释越糊涂。这说明，对于这类定义不要太当真。在小学里，学生头脑里的体积直觉，已经够用了。7、小学里为什么要渗透平面坐标思想？坐标的核心思想就是确定位置吗？很多的教案都这样说，其实不准确。学习坐标确定位置，是地理学的研究目标。数学课程中更重要的是用坐标来表示几何图形。例如，两个坐标都一样的点（y=x），第一个坐标为1的点（x=1），等等，都能表示一类直线。同样也可以用坐标描绘一个矩形的“熊猫馆”。坐标思想的核心是“数形结合思想”，即几何图形可以转换为代数方程，反之代数方程也可转换为几何图形，当然在小学，主要只用于把点在平面的几何位置转换为平面坐标及其相反。
