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1、“中学数学核心概念、思想方法及其教学设计的理论与实践”课题研究成员学校平方差公式教学设计及反思湖北省襄樊市南漳县花庄中学 肖敬美一 、内容及内容解析内容：乘法公式中的平方差公式内容解析：平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以利用多项式乘以多项式的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他的乘法公式有一定的指导意义，同时也可以培养学生观察、归纳、推理的能力把某些具有特殊形式的多项式相乘的式子及其结果写成公式的形式，就是乘法公式。从多项式乘法到乘法公式的认识过程的范例，对它的学习与研究，丰富了教学内容，也拓宽了学生的视野，乘法公式的运用十分广泛，是本
2、章的重点之一本节课的主要内容是平方差公式的探究及结构特征，平方差公式的几何意义及公式的灵活运用。本节课首先动手得到公式，然后熟悉公式，最后运用公式，通过对面积的的思考，可以体现平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到几何与代数的统一性。综上所述，本节课的重点是：平方差公式的的得出及运用本节课的难点是：平方差公式的结构特征几灵活运用。二 目标及目标分析目标：经历探索平方差公式的过程会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，掌握公式的结构特征，培养学生观察、归纳、概括的能力。目标解析：通过对几道特殊的多项式乘法的计算，进行观察、猜想，归纳出平方差公式。引导学生观察、分析，使他们掌握两个公式的
3、结构特征，理解每一个公式的意义理解每一个公式的意义，并能正确运用公式，通过对面积的的思考，发现平方差公式与面积之间的类在联系，感受到几何与代数的统一性。正确运用公式的关键，除了要掌握这一公式的结构特征外，还要理解公式中字母的广泛含义，在目前，可以向学生说明公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等式子。只要符合公式的结构特征就可以运用这一公式。由于由于学生的能力有一个发展的过程，理解字母的广泛含义也要结合公式的难易来逐步来安排。因此，教学时，要结合上述精神进行，不要操之过急。三 教学问题诊断分析在例题的学习中，可以让学生观察题目是否符合公式的条件，即两个数是什么，是
4、不是这两个数的和与差相乘，然后在按公式计算，由此可见，通过观察识别两个数，这是运用平方差公式的关键。平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简单，但必须注意符合公式的结构特征才能运用，在运用公式中体会公式的特征，感受平方差公式的给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算。正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键，涉及本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的ab进行对照，进一步体会字母的含义，加深对字母含义广泛性 的理解：即他们既可以是数，也可以是整式，在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不宜判明，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考，有助于
5、学生思维互补，有条理的思考和表达，更有助于学生合作精神的培养。学数学是为了运用，也服务于生活，因此借助实际问题引入课题，激发学生的求知欲，也让学生体会平方差在实际中的运用。四 教学条件支持在教学设计时，以新课程理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助手段，突出对平方差公式的推导和运用，自主探究，语言叙述，推理验证，几何解释，运用巩固等活动。让学生经历数学知识的形成与运用过程，以促进学生有效的学习。五 教学过程分析教学流程图交流对话探求新知。课堂小结梳理知识课外作业拓展延伸运用新知体验成功创设情境，观察设想（一）、创设情境，观察设想。454515教师发给每个学生一张正方形纸片（边长15cm），并用
6、多媒体课件（或用正方形纸板）显示正方形。师：在一块45cm的红色正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为15cm的正方形（如图），请问剩下红色部分的面积有多少平方厘米？师：计算剩下红色部分的面积可以有哪些方法？小组讨论：1可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。2可以把剩下的红色部分切割成几个矩形来计算。师：从今天的问题来看，用哪一种方法比较好？你们小组能列出算式吗？454515或许有学生能迅速列出算式，得出答案是1800平方厘米。师：为了容易理解，我现在把小正方形放在大正方形的角落（如图）。师：刚才我们说过计算面积的方法不止一种，我们现在试着用分割的方法来计算面积。请参照老师的做法，
7、先在你们的纸上画一条虚线，然后把刚才画的小正方形剪下来（或撕去），就像要挖去这部分一样，再沿虚线把小长方形剪下来，并把小长方形拼到大长方形的一边，刚好又变成一个新的长方形（如图）。45454515453015师：若按照我们刚开始的题目要求，现在新的大长方形的长、宽各是多少？它的面积又是多少呢？生：大长方形的长是(45+15)cm，宽是(45-15)cm 。长方形的面积=(45+15)(45-15)=6030=1800（平方厘米）。师：还记得两种方式的列式吗？生：第一种方法的式子是 452-152， 第二种方法的式子是(45+15)(45-15)。师：两个式子都能求出剩下的面积，它们之间有什么关
8、系呢？生：相等。【设计意图：目的是让学生通过观察、计算，发现公式的一些特点，体验数学知识在实际问题中的运用，激发学生学习数学的积极性和求知欲。】（二）交流对话，探求新知。看谁算得快：（1）（x+2）（x-2）（2）（1+3a）（1-3a）（3）（x+5y）（x-5y）（4）（-m+n）（-m-n）师：你们能发现什么规律？师：再想想看，如果今天的题目换成：“在一块边长为a厘米的正方形纸板上，因为工作的需要，中间挖去一块边长为b厘米的小正方形，请问剩下的面积有多少？”我们该怎样列代数式来表示？生：我们可以用a2-b2来表示剩下的面积。师：还有没有别的方法？生：也可以用（a+b）（a-b）来表示剩下
9、的面积。师：今天我们除了要找一个比较方便的方法来求面积外，更重要的是我们能从图形中了解到（a+b）（a-b）= a2-b2这个性质。上一节课我们已经学过多项式的乘法，你能利用计算多项式乘法的方法，把（a+b）（a-b）的答案计算出来吗？师：为了节省计算时间，我们（a+b）（a-b）= a2-b2作为公式来运用，把这个公式称为“平方差公式”。平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2师：哪一位同学能用语言叙述一下平方差公式？生：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。【设计意图：公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此注意向学生渗透数学思想方法：特例-归纳-猜想-验证
10、-用数学符号表示。】（三）运用新知，体验成功。1例题。利用平方差公式计算：（1）（5+6x）（5-6x）（2）（3m-2n）（3m+2n）（3）（-4x+1）（-4x-1）（4）（5）（ab+8）（ab-8）（6）（m+n）（m-n）+3n2解：（1）原式=52-(6x)2=25-36x2 （2）原式=(3m)2-(2n)2=9m2-4n2 （3）原式=(-4x)2-12=16x2-1 （4）原式= （5）原式=(ab)2-82=a2b2-64 （6）原式=m2-n2+3 n2=m2+2n22巩固深化，拓展思维。利用平方差公式计算：（1）（a+2）（a-2）（2）（3a+2b）（3a-2b）（
11、3）（-x+1）（-x-1）（4）（-4k+1）（-4k-1）（5）（a+b+c）（a+b-c）【设计意图：该环节的教学应视学生的情况调整教学节奏，尽管表面上看平方差公式形式简单，但面对形形色色的题目要想灵活运用公式，仍然不容易，而引导学生明确说出公式的特征不失为明知之举，这里可让学生讨论交流，对公式中各项的认识，尤其是符号的变化，ab可代表哪些式子等，这是进一步灵活运用公式的基础。】（四）课堂小结 梳理知识1通过本节课的学习活动，你们认识了什么？2什么样的式子才能使用平方差公式？【设计意图：巩固所学知识，并将对平方差公式的结构认识延续到课下。】（五）课外作业 拓展延伸1基础训练（略）。2拓展
12、训练：利用平方差公式计算（a+b+c）（a-b-c）。六 、教学反思：本节课能培养和锻炼学生的推理能力，经过实践和计算，得出一个科学的结论，同时可以有条理地表达自己的思考过程。整个教学设计为学生营造一个自己动手、主动求知的教学环境，引导学生进入本节课的学习活动。通过课堂上学生参加互动活动，培养了学生获取知识、运用知识、口头表达、创造和想像等多方面的能力，基本达到了预期的教学效果。本节课的课堂教学也反映出一些不足之处。平方差公式是乘法公式中一个重要公式，表现形式比较简单，学生往往学起来容易，真正掌握起来困难。学生对字母含义的广义定义理解不透，字母的广义定义是抽象的，是带有普遍性的，是一种深层次的
13、数学表达方式，这是本节课的一个难点。有部分学生在教学过程中对字母的广泛性理解不透，造成对公式的不认同，只是死记硬背公式，不能完全理解其含义和具体应用。做题中表现的错误主要是：(1)判断不出哪些项是公式中的a，哪些项是公式中的b；(2)平方时忽视系数的平方，如(2m)22m2。针对这一点，教师在课堂教学中应着重对于共性的或思维方式方面的错误及时指正，以确保达到教学效果。 在教学活动中始终注意：以问题为活动的核心，在活动组织前，结合学习内容和学生实际，更好的使用教科书，创设问题情景。促进学生发展是活动的目的，数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本原理和基本出发点。因此，本节课组织活动的目的，不是单纯的传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导，归纳证明，解释运用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展。2009-10-20
